Statistiques et probabilités · Fiche N°69 / 80

Probabilité de la réunion de deux événements

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements liés à une même expérience aléatoire. L'événement « $A$ et $B$ » est appelé intersection de $A$ et $B$, noté $A \cap B$. Il est réalisé si $A$ et $B$ sont tous les deux réalisés. L'événement « $A$ ou $B$ » est appelé réunion de $A$ et $B$, noté $A \cup B$. Il est réalisé si $A$ est réalisé, ou si $B$ est réalisé, ou si les deux sont réalisés. La probabilité de la réunion de deux événements $A$ et $B$ est donnée par la formule : $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Si les événements $A$ et $B$ sont incompatibles (c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps, donc $A \cap B = \emptyset$), alors $P(A \cap B) = 0$. Dans ce cas, la formule se simplifie en : $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Bon réflexe : Avant d'appliquer la formule, identifie toujours si les événements sont incompatibles ou non pour savoir si $P(A \cap B)$ est nul ou doit être calculé.

Méthode : Probabilité de la réunion de deux événements

1

Identifier les événements

Définir clairement les événements $A$ et $B$ dont on cherche la probabilité de la réunion. Par exemple, $A$ : « obtenir un nombre pair », $B$ : « obtenir un multiple de 3 ».

2

Calculer $P(A)$ et $P(B)$

Déterminer la probabilité de chaque événement $A$ et $B$ séparément. Si l'expérience est à équiprobabilité, $P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables à } A}{\text{nombre total de cas possibles}}$.

3

Identifier l'intersection $A \cap B$

Décrire l'événement $A \cap B$ (c'est-à-dire « $A$ et $B$ »). Il s'agit des issues qui réalisent à la fois $A$ et $B$.

4

Calculer $P(A \cap B)$

Déterminer la probabilité de l'intersection $A \cap B$. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A \cap B) = 0$.

5

Appliquer la formule

Utiliser la formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ pour calculer la probabilité de la réunion.

Exemple résolu

On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes. On considère les événements suivants :
$R$ : « La carte tirée est un Roi »
$T$ : « La carte tirée est un Trèfle »
Calculer la probabilité de l'événement « La carte tirée est un Roi ou un Trèfle ».
1
Identifier les événements
Nous cherchons $P(R \cup T)$.
$R$ : « La carte tirée est un Roi ».
$T$ : « La carte tirée est un Trèfle ».
2
Calculer $P(R)$ et $P(T)$
Un jeu de 32 cartes contient 4 Rois et 8 Trèfles (dont le Roi de Trèfle).
$P(R) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.
$P(T) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.
3
Identifier l'intersection $R \cap T$
L'événement $R \cap T$ signifie « La carte tirée est un Roi ET un Trèfle ». Il s'agit du Roi de Trèfle.
4
Calculer $P(R \cap T)$
Il y a 1 seul Roi de Trèfle dans un jeu de 32 cartes.
$P(R \cap T) = \frac{1}{32}$.
5
Appliquer la formule
On utilise la formule $P(R \cup T) = P(R) + P(T) - P(R \cap T)$.
$P(R \cup T) = \frac{4}{32} + \frac{8}{32} - \frac{1}{32}$
$P(R \cup T) = \frac{4+8-1}{32} = \frac{11}{32}$.
La probabilité de tirer un Roi ou un Trèfle est de $\frac{11}{32}$.

Oublier de soustraire l'intersection

  1. Ne pas soustraire $P(A \cap B)$ : C'est l'erreur la plus courante. Si $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles, les issues de $A \cap B$ sont comptées deux fois (une fois dans $P(A)$ et une fois dans $P(B)$). Il faut donc les retirer une fois.
  2. Confondre $A \cap B$ et $A \cup B$ : L'intersection ($A \cap B$) est « et », la réunion ($A \cup B$) est « ou ».
  3. Mal identifier les événements : Une mauvaise définition des événements $A$, $B$ ou $A \cap B$ conduit à des probabilités erronées.

Exercice type contrôle

Dans une classe de Seconde, 25 % des élèves font du football ($F$) et 30 % font du basket ($B$). On sait que 10 % des élèves font les deux sports.
  1. Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard fasse du football ?
  2. Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard fasse du football ET du basket ?
  3. Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard fasse du football OU du basket ?
  1. Soit $F$ l'événement « l'élève fait du football ». D'après l'énoncé, 25 % des élèves font du football. Donc $P(F) = 0{,}25$.
  2. Soit $B$ l'événement « l'élève fait du basket ». L'événement « l'élève fait du football ET du basket » est l'intersection $F \cap B$. D'après l'énoncé, 10 % des élèves font les deux sports. Donc $P(F \cap B) = 0{,}10$.
  3. L'événement « l'élève fait du football OU du basket » est la réunion $F \cup B$.
    Nous avons $P(F) = 0{,}25$ et $P(B) = 0{,}30$ (d'après l'énoncé).
    Nous avons également $P(F \cap B) = 0{,}10$ (d'après la question précédente).
    On applique la formule de la probabilité de la réunion :
    $P(F \cup B) = P(F) + P(B) - P(F \cap B)$
    $P(F \cup B) = 0{,}25 + 0{,}30 - 0{,}10$
    $P(F \cup B) = 0{,}55 - 0{,}10$
    $P(F \cup B) = 0{,}45$
    La probabilité qu'un élève fasse du football ou du basket est de $0{,}45$ (soit 45 %).

Questions fréquentes

Quand est-ce que $P(A \cap B) = 0$ ?
La probabilité de l'intersection est nulle lorsque les événements $A$ et $B$ sont incompatibles. Cela signifie qu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Par exemple, si $A$ est « obtenir un nombre pair » et $B$ est « obtenir un nombre impair » lors d'un lancer de dé, alors $A$ et $B$ sont incompatibles, et $P(A \cap B) = 0$.
Comment savoir si deux événements sont incompatibles ?
Deux événements sont incompatibles s'ils n'ont aucune issue en commun. Si l'énoncé dit « les deux ne peuvent pas se produire simultanément » ou si tu ne peux trouver aucune issue qui réalise les deux événements à la fois, alors ils sont incompatibles.
La formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ est-elle toujours valable ?
Oui, cette formule est toujours valable pour deux événements $A$ et $B$, qu'ils soient incompatibles ou non. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A \cap B) = 0$, et la formule se simplifie en $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. Elle englobe donc tous les cas.
Peut-on utiliser cette formule pour plus de deux événements ?
Non, cette formule est spécifiquement pour la réunion de deux événements. Pour trois événements ou plus, la formule est plus complexe et n'est pas au programme de Seconde.

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