Moyenne et transformation affine des données – Fiche Maths Seconde

Q: Cette propriété fonctionne-t-elle aussi pour l'écart-type ?

Non, pas de la même manière. Si y_i = ax_i + b, alors l'écart-type de la nouvelle série \sigma_y est |a| \times \sigma_x, où \sigma_x est l'écart-type de la série originale. La constante b n'affecte pas l'écart-type car elle ne modifie pas la dispersion des données, seulement leur position.

Q: Est-ce que cela marche si la transformation n'est pas affine, par exemple y_i = x_i^2 ?

Non, la propriété \bar{y} = a\bar{x} + b est spécifique aux transformations affines (linéaires). Si la transformation est non linéaire (comme x_i^2, \sqrt{x_i}, \frac{1}{x_i}), il faut recalculer toutes les données transformées y_i puis leur moyenne \bar{y} de manière classique.

Q: Que se passe-t-il si a=0 ?

Si a=0, la transformation devient y_i = 0 \times x_i + b, c'est-à-dire y_i = b. Dans ce cas, toutes les données de la nouvelle série sont égales à b. La moyenne de cette série sera donc \bar{y} = b. La formule \bar{y} = a\bar{x} + b donne \bar{y} = 0 \times \bar{x} + b = b, ce qui est cohérent.

Définition

Soit une série statistique $x_1, x_2, \dots, x_n$ de moyenne $\bar{x}$. Si l'on transforme cette série en une nouvelle série $y_1, y_2, \dots, y_n$ telle que pour chaque donnée $x_i$, $y_i = ax_i + b$ (où $a$ et $b$ sont des nombres réels), alors la moyenne de la nouvelle série $\bar{y}$ est donnée par la formule : $$\bar{y} = a\bar{x} + b$$ Cette propriété est appelée linéarité de la moyenne ou transformation affine de la moyenne. Elle est très utile pour simplifier les calculs ou pour adapter des unités.

Bon réflexe : Avant de calculer la moyenne d'une série transformée, vérifie toujours si la transformation est affine pour appliquer la formule simplifiée.

Méthode : Moyenne et transformation affine des données

Identifier la transformation

Déterminer la relation entre les anciennes données $x_i$ et les nouvelles données $y_i$. Cette relation doit être de la forme $y_i = ax_i + b$, où $a$ est le coefficient multiplicatif et $b$ est la constante additive.

Calculer la moyenne initiale

Si elle n'est pas donnée, calculer la moyenne $\bar{x}$ de la série statistique d'origine $x_1, x_2, \dots, x_n$. Rappel : $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$.

Appliquer la formule de transformation

Utiliser la formule $\bar{y} = a\bar{x} + b$ pour calculer la moyenne $\bar{y}$ de la nouvelle série. Il suffit de remplacer $a$, $b$ et $\bar{x}$ par leurs valeurs.

Vérifier la cohérence

S'assurer que le résultat obtenu est cohérent avec la transformation. Par exemple, si toutes les données ont augmenté, la moyenne doit aussi avoir augmenté.

Exemple résolu

Un professeur a noté les copies de ses élèves sur $20$. La moyenne de la classe est de $12{,}5$. Pour valoriser le travail, il décide d'appliquer la transformation suivante à chaque note $N$ : la nouvelle note $N'$ sera $1{,}2N + 2$. Quelle sera la nouvelle moyenne de la classe ?

Identifier la transformation affine

La transformation donnée est $N' = 1{,}2N + 2$.
Ici, $x_i$ représente l'ancienne note $N$, et $y_i$ représente la nouvelle note $N'$.
On a donc $a = 1{,}2$ et $b = 2$.

Identifier la moyenne initiale

La moyenne des notes initiales de la classe est donnée : $\bar{N} = 12{,}5$.
Donc, $\bar{x} = 12{,}5$.

Appliquer la formule de la transformation de la moyenne

La formule est $\bar{y} = a\bar{x} + b$.
En remplaçant les valeurs, on obtient :
$\bar{N'} = 1{,}2 \times 12{,}5 + 2$
$\bar{N'} = 15 + 2$
$\bar{N'} = 17$

La nouvelle moyenne de la classe sera de $17$ sur $20$.

Piège fréquent en Seconde : Confondre moyenne et médiane

La transformation affine s'applique directement à la moyenne, mais pas à la médiane. La médiane d'une série transformée $y_i = ax_i + b$ n'est pas $a \times \text{médiane}(x) + b$. Il faut recalculer la médiane sur la série transformée.
Oublier l'un des termes de la transformation ($a$ ou $b$). Par exemple, si $y_i = x_i + 5$, alors $a=1$ et $b=5$. Si $y_i = 2x_i$, alors $a=2$ et $b=0$.
Faire des erreurs de calcul, surtout avec les nombres décimaux ou les signes négatifs.

Exercice type contrôle

Un groupe d'élèves a passé un test de mathématiques. Les notes obtenues (sur $20$) sont les suivantes : $8\,; 12\,; 15\,; 7\,; 13$.

Calculer la moyenne $\bar{N}$ de cette série de notes.
Le professeur décide d'appliquer un coefficient de $0{,}8$ à chaque note, puis d'ajouter $5$ points. Soit $N'$ la nouvelle note. Écrire la relation entre $N'$ et $N$.
En utilisant la propriété de la transformation affine de la moyenne, calculer la nouvelle moyenne $\bar{N'}$ de la classe.

Calcul de la moyenne initiale :
La somme des notes est $8 + 12 + 15 + 7 + 13 = 55$.
Il y a $5$ notes.
La moyenne $\bar{N}$ est $\frac{55}{5} = 11$.
Donc, $\bar{N} = 11$.
Relation entre $N'$ et $N$ :
Le professeur applique un coefficient de $0{,}8$ à chaque note $N$, puis ajoute $5$ points.
La relation est donc $N' = 0{,}8N + 5$.
Calcul de la nouvelle moyenne $\bar{N'}$ :
Nous avons la transformation affine $N' = 0{,}8N + 5$.
Ici, $a = 0{,}8$ et $b = 5$.
La moyenne initiale est $\bar{N} = 11$.
En utilisant la formule $\bar{N'} = a\bar{N} + b$ :
$\bar{N'} = 0{,}8 \times 11 + 5$
$\bar{N'} = 8{,}8 + 5$
$\bar{N'} = 13{,}8$
La nouvelle moyenne de la classe est $13{,}8$.

Questions fréquentes

Cette propriété fonctionne-t-elle aussi pour l'écart-type ?

Non, pas de la même manière. Si $y_i = ax_i + b$, alors l'écart-type de la nouvelle série $\sigma_y$ est $|a| \times \sigma_x$, où $\sigma_x$ est l'écart-type de la série originale. La constante $b$ n'affecte pas l'écart-type car elle ne modifie pas la dispersion des données, seulement leur position.

Pourquoi cette propriété est-elle utile ?

Elle est très utile pour simplifier les calculs, notamment lorsqu'on change d'unité (par exemple, convertir des températures de Celsius en Fahrenheit) ou lorsqu'on ajuste des scores. Elle permet de trouver la nouvelle moyenne sans avoir à recalculer toutes les données transformées puis leur moyenne.

Est-ce que cela marche si la transformation n'est pas affine, par exemple $y_i = x_i^2$ ?

Non, la propriété $\bar{y} = a\bar{x} + b$ est spécifique aux transformations affines (linéaires). Si la transformation est non linéaire (comme $x_i^2$, $\sqrt{x_i}$, $\frac{1}{x_i}$), il faut recalculer toutes les données transformées $y_i$ puis leur moyenne $\bar{y}$ de manière classique.

Que se passe-t-il si $a=0$ ?

Si $a=0$, la transformation devient $y_i = 0 \times x_i + b$, c'est-à-dire $y_i = b$. Dans ce cas, toutes les données de la nouvelle série sont égales à $b$. La moyenne de cette série sera donc $\bar{y} = b$. La formule $\bar{y} = a\bar{x} + b$ donne $\bar{y} = 0 \times \bar{x} + b = b$, ce qui est cohérent.

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