Fonctions · Fiche N°34 / 104

Calculer l'image d'un nombre par une fonction

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

L'image d'un nombre $x$ par une fonction $f$ est la valeur $f(x)$ obtenue lorsque l'on remplace $x$ dans l'expression de la fonction. On dit que $f(x)$ est l'image de $x$ par $f$, et que $x$ est un antécédent de $f(x)$.
Une fonction peut être donnée sous différentes formes :

  • Une formule : $f(x) = 2x + 3$
  • Un tableau de valeurs :
$x$$-2$$0$$1$$3$
$f(x)$$1$$3$$5$$9$
  • Une courbe représentative dans un repère.

Lire l'image de 2 : f(2) = 5
💡 Bon réflexe : Toujours remplacer $x$ par la valeur donnée et respecter les priorités des opérations pour le calcul de l'image.

Méthode — Calculer l'image d'un nombre par une fonction

1

Identifier la forme de la fonction

Déterminez si la fonction est donnée par une formule, un tableau de valeurs ou une représentation graphique.

2

Calculer l'image (si formule)

Si la fonction est donnée par une formule, remplacez la variable $x$ par la valeur du nombre dont vous cherchez l'image. Effectuez ensuite les calculs en respectant les priorités des opérations.

3

Lire l'image (si tableau ou graphique)

  • Avec un tableau de valeurs : Repérez le nombre $x$ dans la première ligne (ou colonne) et lisez la valeur correspondante dans la deuxième ligne (ou colonne) qui représente $f(x)$.
  • Avec un graphique : Placez-vous sur l'axe des abscisses (axe des $x$) à la valeur du nombre. Montez ou descendez verticalement jusqu'à la courbe de la fonction. Lisez ensuite la valeur sur l'axe des ordonnées (axe des $y$) en vous déplaçant horizontalement depuis le point trouvé sur la courbe.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x^2 - 5$. Calculons l'image de $2$ par $f$.

1
Remplacer $x$ par $2$ dans l'expression de $f(x)$.
$f(2) = 3 × (2)^2 - 5$
2
Calculer la puissance en premier.
$f(2) = 3 × 4 - 5$
3
Calculer la multiplication.
$f(2) = 12 - 5$
4
Calculer la soustraction.
$f(2) = 7$

L'image de $2$ par la fonction $f$ est $7$. On peut écrire $f(2) = 7$.

⚠️ Confondre image et antécédent

  1. Confondre l'image d'un nombre avec son antécédent.
  2. L'image est le résultat du calcul ($f(x)$), tandis que l'antécédent est le nombre de départ ($x$).
  3. Pour trouver l'antécédent, il faut résoudre une équation, ce qui est différent du calcul de l'image.
  4. Par exemple, si $f(x) = 2x + 1$ et que l'on cherche l'image de $3$, on calcule $f(3) = 2 × 3 + 1 = 7$.
  5. Si l'on cherche l'antécédent de $7$, on résout $2x + 1 = 7$, ce qui donne $2x = 6$, donc $x = 3$.

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Exercice type Brevet

Considérons la fonction $g$ définie par $g(x) = -2x + 7$.
  1. Calculez l'image de $4$ par la fonction $g$.
  2. Calculez l'image de $-3$ par la fonction $g$.
  3. Calculez l'image de $0$ par la fonction $g$.
  1. Pour calculer l'image de $4$ :
    $g(4) = -2 × 4 + 7$
    $g(4) = -8 + 7$
    $g(4) = -1$
    L'image de $4$ par $g$ est $-1$.
  2. Pour calculer l'image de $-3$ :
    $g(-3) = -2 × (-3) + 7$
    $g(-3) = 6 + 7$
    $g(-3) = 13$
    L'image de $-3$ par $g$ est $13$.
  3. Pour calculer l'image de $0$ :
    $g(0) = -2 × 0 + 7$
    $g(0) = 0 + 7$
    $g(0) = 7$
    L'image de $0$ par $g$ est $7$.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une fonction ?
Une fonction est un processus qui, à chaque nombre d'entrée (appelé antécédent), associe un unique nombre de sortie (appelé image). C'est comme une "machine" qui transforme un nombre en un autre.
Peut-il y avoir plusieurs images pour un même nombre ?
Non, par définition, une fonction associe à chaque antécédent une unique image. C'est une règle fondamentale des fonctions.
Peut-il y avoir plusieurs antécédents pour une même image ?
Oui, tout à fait. Une image peut avoir plusieurs antécédents. Par exemple, pour la fonction $f(x) = x^2$, l'image de $2$ est $4$ ($f(2)=4$) et l'image de $-2$ est aussi $4$ ($f(-2)=4$). Donc $4$ a deux antécédents : $2$ et $-2$.
Comment calculer l'image d'une fraction ou d'un nombre décimal ?
La méthode est la même : remplacez $x$ par la fraction ou le nombre décimal dans l'expression de la fonction et effectuez les calculs en respectant les règles de priorité et les opérations sur les fractions ou les décimaux.

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