Fonctions · Fiche N°35 / 104

Trouver un antécédent par calcul

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

Soit une fonction $f$. Un antécédent d'un nombre $y$ par la fonction $f$ est un nombre $x$ tel que $f(x) = y$. Autrement dit, c'est la valeur d'entrée $x$ qui, une fois transformée par la fonction $f$, donne la valeur de sortie $y$.
Pour trouver un antécédent par le calcul, on doit résoudre l'équation $f(x) = y$.

Trouver x tel que f(x) = valeur donnee
💡 Bon réflexe : Toujours poser l'équation $f(x) = y$ et la résoudre pour trouver l'antécédent.

Méthode — Trouver un antécédent par calcul

1

Écrire l'équation

On pose l'équation $f(x) = y$, où $f(x)$ est l'expression de la fonction et $y$ est le nombre dont on cherche l'antécédent.

2

Résoudre l'équation

On résout l'équation pour trouver la ou les valeurs de $x$.

  • Pour une fonction linéaire ou affine ($f(x) = ax+b$), on isole $x$.
  • Pour une fonction quadratique ($f(x) = ax^2+b$ ou $f(x) = ax^2+bx+c$), on peut être amené à résoudre une équation du second degré (par factorisation, identités remarquables, ou en isolant $x^2$).

3

Vérifier (facultatif mais recommandé)

Une fois la ou les valeurs de $x$ trouvées, on peut les substituer dans l'expression de la fonction $f(x)$ pour s'assurer que l'on obtient bien $y$.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x - 5$. On cherche l'antécédent de $7$ par la fonction $f$.

1
Écrire l'équation
On pose $f(x) = 7$, ce qui donne $3x - 5 = 7$.
2
Résoudre l'équation
  • $3x - 5 = 7$
  • $3x = 7 + 5$
  • $3x = 12$
  • $x = \frac{12}{3}$
  • $x = 4$
3
Vérifier
On calcule $f(4) = 3 × 4 - 5 = 12 - 5 = 7$. Le résultat est correct.

L'antécédent de $7$ par la fonction $f(x) = 3x - 5$ est $4$.

⚠️ Oublier qu'il peut y avoir plusieurs antécédents (ou aucun) !

  1. Pour certaines fonctions, un nombre peut avoir plusieurs antécédents.
  2. Par exemple, pour la fonction $f(x) = x^2$, l'antécédent de $9$ est à la fois $3$ et $-3$, car $3^2 = 9$ et $(-3)^2 = 9$.
  3. De même, un nombre peut ne pas avoir d'antécédent (par exemple, $-4$ n'a pas d'antécédent par $f(x) = x^2$ dans l'ensemble des nombres réels).
  4. Il faut donc toujours être attentif à la nature de l'équation à résoudre.

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Exercice type Brevet

Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = -2x + 1$.
1. Calculer l'antécédent de $9$ par la fonction $g$.
2. Calculer l'antécédent de $-3$ par la fonction $g$.

Soit la fonction $h$ définie par $h(x) = x^2 - 4$.
3. Calculer les antécédents de $5$ par la fonction $h$.
4. Calculer les antécédents de $-5$ par la fonction $h$.
1. Antécédent de $9$ par $g(x) = -2x + 1$ :
On résout $g(x) = 9$
$-2x + 1 = 9$
$-2x = 9 - 1$
$-2x = 8$
$x = \frac{8}{-2}$
$x = -4$
L'antécédent de $9$ par $g$ est $-4$.

2. Antécédent de $-3$ par $g(x) = -2x + 1$ :
On résout $g(x) = -3$
$-2x + 1 = -3$
$-2x = -3 - 1$
$-2x = -4$
$x = \frac{-4}{-2}$
$x = 2$
L'antécédent de $-3$ par $g$ est $2$.

3. Antécédents de $5$ par $h(x) = x^2 - 4$ :
On résout $h(x) = 5$
$x^2 - 4 = 5$
$x^2 = 5 + 4$
$x^2 = 9$
Il y a deux solutions : $x = \sqrt{9}$ ou $x = -\sqrt{9}$
$x = 3$ ou $x = -3$
Les antécédents de $5$ par $h$ sont $3$ et $-3$.

4. Antécédents de $-5$ par $h(x) = x^2 - 4$ :
On résout $h(x) = -5$
$x^2 - 4 = -5$
$x^2 = -5 + 4$
$x^2 = -1$
Dans l'ensemble des nombres réels, un carré ne peut pas être négatif. Il n'y a donc pas de solution.
Le nombre $-5$ n'a pas d'antécédent par la fonction $h$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une image et un antécédent ?
L'image est le résultat de la fonction pour une valeur donnée de $x$ (on calcule $f(x)$). L'antécédent est la valeur de $x$ qui donne un résultat $y$ (on résout $f(x) = y$). On dit que $y$ est l'image de $x$, et $x$ est un antécédent de $y$.
Peut-on toujours trouver un antécédent ?
Non, comme vu dans l'exemple $h(x) = x^2 - 4$ et l'antécédent de $-5$, il n'est pas toujours possible de trouver un antécédent dans l'ensemble des nombres réels. Cela dépend de la fonction et du nombre dont on cherche l'antécédent.
Comment trouver un antécédent graphiquement ?
Pour trouver l'antécédent de $y$ graphiquement, on place $y$ sur l'axe des ordonnées (axe vertical), on trace une droite horizontale passant par $y$ jusqu'à ce qu'elle coupe la courbe de la fonction. Ensuite, on trace une droite verticale depuis le point d'intersection jusqu'à l'axe des abscisses (axe horizontal). La valeur lue sur l'axe des abscisses est l'antécédent (ou les antécédents).
Est-ce que toutes les fonctions ont un seul antécédent pour chaque nombre ?
Non. Les fonctions linéaires et affines ont toujours un unique antécédent pour chaque nombre. Cependant, d'autres types de fonctions (comme les fonctions quadratiques) peuvent avoir zéro, un ou plusieurs antécédents pour un même nombre.

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