Fonctions · Fiche N°33 / 104

Notion de fonction : vocabulaire

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

Une fonction est un processus qui, à un nombre donné (appelé antécédent), associe un unique nombre (appelé image).

On note souvent une fonction par une lettre comme $f$, $g$, $h$.
Si $f$ est une fonction, on écrit $f: x \mapsto f(x)$.

  • $x$ est l'antécédent.
  • $f(x)$ est l'image de $x$ par la fonction $f$.

Une fonction peut être définie par :
  • Une formule (ex: $f(x) = 2x + 3$)
  • Un tableau de valeurs
  • Une représentation graphique
  • Un programme de calcul

Une fonction associe a chaque x une image f(x)
💡 Bon réflexe : Toujours bien identifier ce que l'on cherche : une image (on remplace $x$) ou un antécédent (on résout une équation).

Méthode — Notion de fonction : vocabulaire

1

Identifier l'antécédent et l'image

Dans l'expression $f(x) = y$, $x$ est l'antécédent et $y$ est l'image de $x$ par la fonction $f$. Il est crucial de ne pas les confondre.

2

Calculer l'image d'un nombre

Pour calculer l'image d'un nombre $a$ par une fonction $f$ définie par une formule, il suffit de remplacer $x$ par $a$ dans la formule et d'effectuer le calcul. On cherche $f(a)$.

3

Déterminer l'antécédent d'un nombre

Pour déterminer l'antécédent (ou les antécédents) d'un nombre $b$ par une fonction $f$ définie par une formule, il faut résoudre l'équation $f(x) = b$. On cherche $x$ tel que son image soit $b$.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie par la formule $f(x) = 3x - 5$.

1
Calculer l'image de $2$ par $f$.
On remplace $x$ par $2$: $f(2) = 3 × 2 - 5 = 6 - 5 = 1$. L'image de $2$ est $1$.
2
Calculer l'image de $-1$ par $f$.
On remplace $x$ par $-1$: $f(-1) = 3 × (-1) - 5 = -3 - 5 = -8$. L'image de $-1$ est $-8$.
3
Déterminer l'antécédent de $7$ par $f$.
On résout l'équation $f(x) = 7$: $3x - 5 = 7 \implies 3x = 7 + 5 \implies 3x = 12 \implies x = \frac{12}{3} \implies x = 4$. L'antécédent de $7$ est $4$.
4
Déterminer l'antécédent de $-20$ par $f$.
On résout l'équation $f(x) = -20$: $3x - 5 = -20 \implies 3x = -20 + 5 \implies 3x = -15 \implies x = \frac{-15}{3} \implies x = -5$. L'antécédent de $-20$ est $-5$.

Ces exemples montrent comment calculer une image en remplaçant $x$ et comment trouver un antécédent en résolvant une équation.

⚠️ Confusion entre antécédent et image

  1. Le piège le plus courant est de confondre l'antécédent et l'image.
  2. Rappelez-vous : $x$ est l'antécédent (ce qu'on donne à la fonction), et $f(x)$ est l'image (ce que la fonction renvoie).
  3. Un antécédent peut avoir une seule image, mais une image peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun).

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Exercice type Brevet

Considérons la fonction $g$ définie par $g(x) = x^2 - 4$.
  1. Calculez l'image de $3$ par la fonction $g$.
  2. Calculez l'image de $-2$ par la fonction $g$.
  3. Déterminez les antécédents de $5$ par la fonction $g$.
  4. Déterminez les antécédents de $-4$ par la fonction $g$.
Voici le corrigé de l'exercice :
  1. Pour calculer l'image de $3$: $g(3) = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. L'image de $3$ est $5$.
  2. Pour calculer l'image de $-2$: $g(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. L'image de $-2$ est $0$.
  3. Pour déterminer les antécédents de $5$: on résout l'équation $g(x) = 5$.
    $x^2 - 4 = 5 \implies x^2 = 9 \implies x = \sqrt{9}$ ou $x = -\sqrt{9}$.
    Donc $x = 3$ ou $x = -3$. Les antécédents de $5$ sont $3$ et $-3$.
  4. Pour déterminer les antécédents de $-4$: on résout l'équation $g(x) = -4$.
    $x^2 - 4 = -4 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$. L'antécédent de $-4$ est $0$.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une fonction linéaire ?
Une fonction linéaire est une fonction de la forme $f(x) = ax$, où $a$ est un nombre constant. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
Qu'est-ce qu'une fonction affine ?
Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres constants. Sa représentation graphique est une droite.
Une image peut-elle avoir plusieurs antécédents ?
Oui, tout à fait ! Par exemple, pour la fonction $f(x) = x^2$, l'image $4$ a deux antécédents : $2$ et $-2$ car $2^2 = 4$ et $(-2)^2 = 4$.
Un antécédent peut-il avoir plusieurs images ?
Non, par définition, une fonction associe à chaque antécédent une unique image. Si un antécédent avait plusieurs images, ce ne serait pas une fonction.

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