Tracer la droite d'une fonction affine – Fiche Brevet Maths

Q: Que faire si $a=0$ ?

Si $a=0$, la fonction est de la forme $f(x) = b$. C'est une fonction constante. Sa représentation graphique est une droite horizontale qui passe par le point $(0; b)$.

Q: Comment tracer une fonction linéaire ?

Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où $b=0$, donc $f(x) = ax$. La droite passe toujours par l'origine $(0; 0)$. Il suffit de trouver un deuxième point en choisissant une valeur de $x$ (par exemple $x=1$) et en calculant $f(1) = a$. Le deuxième point est $(1; a)$.

Q: Est-ce que l'ordre des points compte ?

Non, l'ordre des points n'a pas d'importance. Tant que vous avez deux points distincts qui appartiennent à la droite, vous pouvez la tracer. Cependant, utiliser l'ordonnée à l'origine comme premier point est souvent le plus simple.

Q: Comment choisir les valeurs de $x$ pour la méthode alternative ?

Choisissez des valeurs de $x$ simples, comme $0$, $1$, ou $2$. Si le coefficient directeur est une fraction, il peut être judicieux de choisir des valeurs de $x$ qui sont des multiples du dénominateur pour obtenir des valeurs entières pour $f(x)$ et faciliter le placement des points.

Définition

Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels. Sa représentation graphique est une droite.

Le nombre $a$ est appelé le coefficient directeur ou la pente de la droite. Il indique l'inclinaison de la droite.
Le nombre $b$ est appelé l'ordonnée à l'origine. C'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe des $y$).

Tracer y = x + 1

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier que la droite tracée a bien la bonne 'pente' (monte si $a>0$, descend si $a<0$, horizontale si $a=0$) et passe par la bonne ordonnée à l'origine.

Méthode — Tracer la droite d'une fonction affine

Étape 1 : Identifier l'ordonnée à l'origine ($b$)

La valeur de $b$ vous donne le point où la droite coupe l'axe des ordonnées. Ce point a pour coordonnées $(0; b)$. Placez ce point sur votre repère.

Étape 2 : Utiliser le coefficient directeur ($a$) pour trouver un deuxième point

Le coefficient directeur $a$ peut être interprété comme $\frac{\text{déplacement vertical}}{\text{déplacement horizontal}}$.

Si $a$ est un entier, vous pouvez l'écrire comme $\frac{a}{1}$. À partir du premier point $(0; b)$, déplacez-vous de $1$ unité vers la droite (horizontalement) et de $a$ unités vers le haut (si $a > 0$) ou vers le bas (si $a < 0$) (verticalement).
Si $a$ est une fraction $\frac{p}{q}$, à partir du premier point, déplacez-vous de $q$ unités vers la droite et de $p$ unités vers le haut (si $p > 0$) ou vers le bas (si $p < 0$).

Placez ce deuxième point.

Étape 3 : Tracer la droite

Une fois que vous avez placé les deux points, utilisez une règle pour tracer la droite qui passe par ces deux points. N'oubliez pas de prolonger la droite au-delà des points.

Méthode alternative : Calculer les coordonnées de deux points

Choisissez deux valeurs différentes pour $x$ (par exemple $x=0$ et $x=1$ ou $x=2$). Calculez les valeurs correspondantes de $f(x)$ pour obtenir deux points $(x_1; f(x_1))$ et $(x_2; f(x_2))$. Placez ces deux points et tracez la droite qui les relie.

Exemple résolu

Traçons la droite représentative de la fonction affine $f(x) = 2x - 3$.

Ordonnée à l'origine ($b$)

Pour $f(x) = 2x - 3$, l'ordonnée à l'origine est $b = -3$. Le premier point est $(0; -3)$.

Coefficient directeur ($a$)

Le coefficient directeur est $a = 2$. On peut l'écrire $\frac{2}{1}$. À partir du point $(0; -3)$, on avance de $1$ unité vers la droite et on monte de $2$ unités. Cela nous donne le point $(0+1; -3+2) = (1; -1)$.

Tracé

On place les points $(0; -3)$ et $(1; -1)$ dans un repère, puis on trace la droite passant par ces deux points.

La droite est ainsi tracée en utilisant l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur. Alternativement, on aurait pu calculer $f(0) = 2 × 0 - 3 = -3$ (point $(0; -3)$) et $f(2) = 2 × 2 - 3 = 4 - 3 = 1$ (point $(2; 1)$), puis tracer la droite passant par ces deux points.

⚠️ Confondre $a$ et $b$

Ne pas inverser le rôle du coefficient directeur $a$ et de l'ordonnée à l'origine $b$.
L'ordonnée à l'origine est toujours la valeur de $y$ lorsque $x=0$.
Le coefficient directeur indique la pente.
Si la fonction est donnée sous une forme non standard (par exemple $y - 2x = 5$), réécrivez-la toujours sous la forme $y = ax + b$ avant de commencer ($y = 2x + 5$ dans cet exemple, donc $a=2$ et $b=5$).

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Exercice type Brevet

Tracez les droites représentatives des fonctions affines suivantes dans un même repère orthogonal :

$f(x) = 3x + 1$
$g(x) = -x + 4$
$h(x) = \frac{1}{2}x - 2$

Pour $f(x) = 3x + 1$ :
- Ordonnée à l'origine : $b=1$. Premier point $(0; 1)$.
- Coefficient directeur : $a=3 = \frac{3}{1}$. À partir de $(0; 1)$, on avance de $1$ vers la droite et on monte de $3$. Deuxième point $(1; 4)$.
- Tracez la droite passant par $(0; 1)$ et $(1; 4)$.
Pour $g(x) = -x + 4$ :
- Ordonnée à l'origine : $b=4$. Premier point $(0; 4)$.
- Coefficient directeur : $a=-1 = \frac{-1}{1}$. À partir de $(0; 4)$, on avance de $1$ vers la droite et on descend de $1$. Deuxième point $(1; 3)$.
- Tracez la droite passant par $(0; 4)$ et $(1; 3)$.
Pour $h(x) = \frac{1}{2}x - 2$ :
- Ordonnée à l'origine : $b=-2$. Premier point $(0; -2)$.
- Coefficient directeur : $a=\frac{1}{2}$. À partir de $(0; -2)$, on avance de $2$ vers la droite et on monte de $1$. Deuxième point $(2; -1)$.
- Tracez la droite passant par $(0; -2)$ et $(2; -1)$.

Questions fréquentes

Que faire si $a=0$ ?

Si $a=0$, la fonction est de la forme $f(x) = b$. C'est une fonction constante. Sa représentation graphique est une droite horizontale qui passe par le point $(0; b)$.

Comment tracer une fonction linéaire ?

Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où $b=0$, donc $f(x) = ax$. La droite passe toujours par l'origine $(0; 0)$. Il suffit de trouver un deuxième point en choisissant une valeur de $x$ (par exemple $x=1$) et en calculant $f(1) = a$. Le deuxième point est $(1; a)$.

Est-ce que l'ordre des points compte ?

Non, l'ordre des points n'a pas d'importance. Tant que vous avez deux points distincts qui appartiennent à la droite, vous pouvez la tracer. Cependant, utiliser l'ordonnée à l'origine comme premier point est souvent le plus simple.

Comment choisir les valeurs de $x$ pour la méthode alternative ?

Choisissez des valeurs de $x$ simples, comme $0$, $1$, ou $2$. Si le coefficient directeur est une fraction, il peut être judicieux de choisir des valeurs de $x$ qui sont des multiples du dénominateur pour obtenir des valeurs entières pour $f(x)$ et faciliter le placement des points.

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