Définition
Une fonction linéaire est une fonction qui, à tout nombre $x$, associe le nombre $a × x$. Elle est de la forme $f(x) = ax$, où $a$ est un nombre réel fixé appelé le coefficient directeur ou coefficient de proportionnalité.
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe toujours par l'origine du repère $(0;0)$.
Méthode — La fonction linéaire : définition et coefficient
Identifier une fonction linéaire
Une fonction $f$ est linéaire si elle peut s'écrire sous la forme $f(x) = ax$. Il n'y a pas de terme constant ajouté ou soustrait, ni de puissance de $x$ différente de $1$ (par exemple, pas de $x^2$, $\sqrt{x}$, $\frac{1}{x}$).
Exemple : $f(x) = 3x$ est linéaire, $g(x) = 2x + 1$ n'est pas linéaire.
Déterminer le coefficient directeur $a$
Si la fonction est donnée sous la forme $f(x) = ax$, le coefficient $a$ est le nombre qui multiplie $x$.
Si l'on connaît un point $(x; y)$ appartenant à la droite représentative de la fonction (autre que l'origine), on peut calculer $a$ en utilisant la formule $a = \frac{y}{x}$ (pour $x \neq 0$).
Exemple : Si $f(x) = 5x$, alors $a = 5$. Si $f(2) = 10$, alors $a = \frac{10}{2} = 5$.
Calculer l'image d'un nombre par une fonction linéaire
Pour calculer l'image d'un nombre $x_0$ par une fonction linéaire $f(x) = ax$, il suffit de remplacer $x$ par $x_0$ dans l'expression de la fonction : $f(x_0) = a × x_0$.
Exemple : Si $f(x) = -2x$, l'image de $3$ est $f(3) = -2 × 3 = -6$.
Calculer l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
Pour trouver l'antécédent d'un nombre $y_0$ par une fonction linéaire $f(x) = ax$, il faut résoudre l'équation $ax = y_0$. Si $a \neq 0$, l'antécédent est $x = \frac{y_0}{a}$.
Exemple : Si $f(x) = 4x$, l'antécédent de $12$ est la solution de $4x = 12$, donc $x = \frac{12}{4} = 3$.
Exemple résolu
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = -3x$. Vérifions si elle est linéaire et déterminons son coefficient directeur.
La fonction $f(x) = -3x$ est bien une fonction linéaire de coefficient directeur $-3$.
⚠️ Confusion avec la fonction affine
- Les élèves confondent fonction linéaire et fonction affine. Une fonction affine est de la forme $f(x) = ax + b$. Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où $b = 0$.
- Rappel : La droite représentative d'une fonction linéaire passe toujours par l'origine $(0;0)$. La droite représentative d'une fonction affine ne passe par l'origine que si $b=0$.
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Exercice type Brevet
- Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions linéaires ? Justifiez votre réponse et donnez leur coefficient directeur si elles le sont.
- $f(x) = 5x$
- $g(x) = x^2$
- $h(x) = 7 - 2x$
- $k(x) = \frac{x}{4}$
- Soit une fonction linéaire $m$ telle que $m(3) = 15$.
- Déterminez le coefficient directeur de la fonction $m$.
- Écrivez l'expression de $m(x)$.
- Calculez l'image de $-2$ par la fonction $m$.
- Déterminez l'antécédent de $25$ par la fonction $m$.
-
- $f(x) = 5x$ : C'est une fonction linéaire. Elle est de la forme $ax$ avec $a=5$. Le coefficient directeur est $5$.
- $g(x) = x^2$ : Ce n'est pas une fonction linéaire car $x$ est élevé à la puissance $2$.
- $h(x) = 7 - 2x$ : Ce n'est pas une fonction linéaire. C'est une fonction affine de la forme $ax+b$ avec $a=-2$ et $b=7$. Le terme constant $7$ est présent.
- $k(x) = \frac{x}{4}$ : C'est une fonction linéaire. On peut l'écrire $k(x) = \frac{1}{4}x$. Elle est de la forme $ax$ avec $a=\frac{1}{4}$. Le coefficient directeur est $\frac{1}{4}$.
-
- La fonction $m$ est linéaire, donc $m(x) = ax$. On sait que $m(3) = 15$. Donc $a × 3 = 15$. Pour trouver $a$, on calcule $a = \frac{15}{3} = 5$. Le coefficient directeur est $5$.
- L'expression de $m(x)$ est $m(x) = 5x$.
- L'image de $-2$ est $m(-2) = 5 × (-2) = -10$.
- Pour trouver l'antécédent de $25$, on résout l'équation $m(x) = 25$, c'est-à-dire $5x = 25$. Donc $x = \frac{25}{5} = 5$. L'antécédent de $25$ est $5$.
Questions fréquentes
Comment savoir si une fonction est linéaire à partir de sa représentation graphique ?
Le coefficient directeur peut-il être négatif ou une fraction ?
Que se passe-t-il si le coefficient directeur $a$ est nul ?
Y a-t-il un lien entre la fonction linéaire et la proportionnalité ?
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