Lire un antécédent sur un graphique – Fiche Brevet Maths

Définition

Pour une fonction $f$, l'image d'un nombre $x$ est $f(x)$. Réciproquement, un antécédent d'un nombre $y$ par la fonction $f$ est un nombre $x$ tel que $f(x) = y$. Sur un graphique, l'axe des abscisses (horizontal) représente les antécédents ($x$) et l'axe des ordonnées (vertical) représente les images ($y$ ou $f(x)$).

Lecture graphique d'un antecedent

💡 Bon réflexe : Toujours commencer par l'axe des ordonnées pour chercher un antécédent.

Méthode — Lire un antécédent sur un graphique

Identifier la valeur de l'image sur l'axe des ordonnées

Le problème vous donnera une valeur $y$ (l'image) pour laquelle vous devez trouver l'antécédent. Localisez cette valeur sur l'axe des ordonnées (l'axe vertical).

Tracer une droite horizontale

À partir de la valeur $y$ identifiée sur l'axe des ordonnées, tracez une droite horizontale (parallèle à l'axe des abscisses) jusqu'à ce qu'elle rencontre la courbe représentative de la fonction.

Identifier le(s) point(s) d'intersection

Notez tous les points où la droite horizontale que vous avez tracée croise la courbe de la fonction. Il peut y en avoir un, plusieurs, ou aucun.

Lire la ou les abscisses correspondantes

Pour chaque point d'intersection, tracez une droite verticale (parallèle à l'axe des ordonnées) jusqu'à l'axe des abscisses. La ou les valeurs lues sur l'axe des abscisses sont les antécédents de $y$ par la fonction $f$.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ représentée par la courbe ci-dessous. Nous allons chercher les antécédents de $3$ par la fonction $f$.

Je cherche les antécédents de $3$.

Je me place sur l'axe des ordonnées à la valeur $y=3$. Je trace une droite horizontale. Elle coupe la courbe en deux points. Je descends verticalement de ces points jusqu'à l'axe des abscisses. Je lis $x_1 = -2$ et $x_2 = 2$. Donc les antécédents de $3$ sont $-2$ et $2$.

Je cherche les antécédents de $0$.

Je me place sur l'axe des ordonnées à la valeur $y=0$. Je trace une droite horizontale (c'est l'axe des abscisses). Elle coupe la courbe en trois points. Je lis $x_1 = -3$, $x_2 = 0$ et $x_3 = 3$. Donc les antécédents de $0$ sont $-3$, $0$ et $3$.

Je cherche les antécédents de $5$.

✗ NonJe me place sur l'axe des ordonnées à la valeur $y=5$. Je trace une droite horizontale. Cette droite ne coupe pas la courbe. Il n'y a donc pas d'antécédent de $5$ par cette fonction.

Il est crucial de bien distinguer l'axe des abscisses (antécédents) et l'axe des ordonnées (images) pour éviter les confusions.

⚠️ Confondre antécédent et image

La confusion la plus fréquente est de chercher la valeur sur le mauvais axe.
Pour trouver un antécédent, on part toujours de l'axe des ordonnées (valeur de l'image) et on se déplace horizontalement vers la courbe.
Pour trouver une image, on part de l'axe des abscisses (valeur de l'antécédent) et on se déplace verticalement vers la courbe.

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Exercice type Brevet

Soit la fonction $g$ représentée par la courbe ci-dessous.
1. Déterminer le(s) antécédent(s) de $4$ par la fonction $g$.
2. Déterminer le(s) antécédent(s) de $-1$ par la fonction $g$.
3. Déterminer le(s) antécédent(s) de $2$ par la fonction $g$.
4. Déterminer le(s) antécédent(s) de $6$ par la fonction $g$.

1. Pour trouver le(s) antécédent(s) de $4$: je me place sur l'axe des ordonnées à $y=4$. Je trace une droite horizontale. Elle coupe la courbe en un seul point. Je descends verticalement jusqu'à l'axe des abscisses et je lis $x=1$. Donc l'antécédent de $4$ est $1$.
2. Pour trouver le(s) antécédent(s) de $-1$: je me place sur l'axe des ordonnées à $y=-1$. Je trace une droite horizontale. Elle coupe la courbe en deux points. Je descends verticalement jusqu'à l'axe des abscisses et je lis $x_1 = -2$ et $x_2 = 0$. Donc les antécédents de $-1$ sont $-2$ et $0$.
3. Pour trouver le(s) antécédent(s) de $2$: je me place sur l'axe des ordonnées à $y=2$. Je trace une droite horizontale. Elle coupe la courbe en trois points. Je descends verticalement jusqu'à l'axe des abscisses et je lis $x_1 = -3$, $x_2 = -1$ et $x_3 = 2$. Donc les antécédents de $2$ sont $-3$, $-1$ et $2$.
4. Pour trouver le(s) antécédent(s) de $6$: je me place sur l'axe des ordonnées à $y=6$. Je trace une droite horizontale. Cette droite ne coupe pas la courbe. Il n'y a donc pas d'antécédent de $6$ par la fonction $g$.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un antécédent ?

Un antécédent est une valeur de départ ($x$) pour laquelle une fonction $f$ produit une certaine valeur d'arrivée ($y$). On dit que $x$ est un antécédent de $y$ si $f(x) = y$.

Peut-il y avoir plusieurs antécédents pour une même image ?

Oui, tout à fait. Une image peut avoir plusieurs antécédents. Graphiquement, cela se produit lorsque la droite horizontale coupe la courbe en plusieurs points.

Peut-il n'y avoir aucun antécédent pour une image ?

Oui, c'est possible. Si la droite horizontale tracée à partir de l'image ne coupe jamais la courbe de la fonction, cela signifie qu'il n'y a pas d'antécédent pour cette image.

Quelle est la différence entre un antécédent et une image ?

L'antécédent est la valeur sur l'axe des abscisses ($x$), c'est la 'cause' ou l'entrée de la fonction. L'image est la valeur sur l'axe des ordonnées ($y$ ou $f(x)$), c'est l''effet' ou la sortie de la fonction. On cherche l'antécédent quand on connaît l'image, et l'image quand on connaît l'antécédent.

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