Calculer un taux d'évolution – Fiche Brevet Maths

Définition

Le taux d'évolution (ou taux de variation) permet de mesurer le changement relatif d'une grandeur entre deux valeurs. Il est souvent exprimé en pourcentage.
Si une grandeur passe d'une valeur initiale $V_i$ à une valeur finale $V_f$, le taux d'évolution $t$ est donné par la formule :
$$\text{Taux d'évolution } t = \frac{V_f - V_i}{V_i}$$
Pour l'exprimer en pourcentage, on multiplie le résultat par $100$:
$$\text{Taux d'évolution en pourcentage } = \frac{V_f - V_i}{V_i} × 100$$
Un taux positif indique une augmentation, un taux négatif indique une diminution.

💡 Bon réflexe : Toujours identifier clairement $V_i$ et $V_f$ avant de commencer le calcul. Vérifier le signe du résultat pour s'assurer qu'il correspond à une augmentation ou une diminution logique.

Méthode — Calculer un taux d'évolution

Identifier les valeurs initiale et finale

Lisez attentivement l'énoncé pour déterminer quelle est la valeur de départ ($V_i$) et quelle est la valeur d'arrivée ($V_f$). C'est une étape cruciale pour éviter les erreurs.

Appliquer la formule du taux d'évolution

Utilisez la formule $t = \frac{V_f - V_i}{V_i}$. Effectuez la soustraction au numérateur en premier, puis la division.

Convertir en pourcentage (si demandé)

Si le taux doit être exprimé en pourcentage, multipliez le résultat obtenu à l'étape précédente par $100$. N'oubliez pas d'ajouter le symbole '%'.

Interpréter le résultat

Un taux positif signifie une augmentation (par exemple, $+10\%$), tandis qu'un taux négatif signifie une diminution (par exemple, $-5\%$). Indiquez clairement s'il s'agit d'une hausse ou d'une baisse.

Exemple résolu

Calculons le taux d'évolution dans différentes situations.

Le prix d'un article passe de $20\text{ €}$ à $25\text{ €}$.

$V_i = 20$, $V_f = 25$.
$\text{Taux} = \frac{25 - 20}{20} = \frac{5}{20} = 0,25$.
En pourcentage : $0,25 × 100 = 25\%$.
Il s'agit d'une augmentation de $25\%$.

Le nombre d'habitants d'une ville passe de $15000$ à $13500$.

$V_i = 15000$, $V_f = 13500$.
$\text{Taux} = \frac{13500 - 15000}{15000} = \frac{-1500}{15000} = -0,1$.
En pourcentage : $-0,1 × 100 = -10\%$.
Il s'agit d'une diminution de $10\%$.

Un salaire de $1800\text{ €}$ est augmenté de $5\%$. Quel est le taux d'évolution ?

✗ NonLe taux d'évolution est déjà donné ($+5\%$). Il faudrait calculer la nouvelle valeur du salaire, mais pas le taux d'évolution.

Ces exemples montrent l'application directe de la formule du taux d'évolution et l'importance d'identifier correctement les valeurs initiale et finale.

⚠️ Confusion entre valeur initiale et valeur finale

Le piège le plus courant est d'intervertir $V_i$ et $V_f$.
Cela conduit à un résultat erroné, souvent avec le signe opposé.
Par exemple, si une valeur passe de $100$ à $120$, le taux est de $+20\%$.
Si vous faites l'inverse, vous obtiendrez $-16,67\%$, ce qui est faux.
Toujours se demander : 'De quelle valeur je pars ? À quelle valeur j'arrive ?'.

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Exercice type Brevet

Exercice :

Un article coûte $40\text{ €}$. Son prix augmente pour atteindre $46\text{ €}$. Quel est le taux d'évolution de son prix ?
Le nombre d'inscrits à un club sportif était de $250$ l'année dernière. Cette année, il y a $220$ inscrits. Calculer le taux d'évolution du nombre d'inscrits.
Une action en bourse valait $120\text{ €}$ le lundi. Le mardi, elle perd $15\%$. Le mercredi, elle gagne $10\%$ par rapport au prix du mardi. Quel est le taux d'évolution global de l'action entre le lundi et le mercredi ?

Correction :

Valeur initiale $V_i = 40\text{ €}$.
Valeur finale $V_f = 46\text{ €}$.
Taux d'évolution $t = \frac{V_f - V_i}{V_i} = \frac{46 - 40}{40} = \frac{6}{40} = 0,15$.
En pourcentage : $0,15 × 100 = 15\%$.
Le prix de l'article a augmenté de $15\%$.
Valeur initiale $V_i = 250$.
Valeur finale $V_f = 220$.
Taux d'évolution $t = \frac{V_f - V_i}{V_i} = \frac{220 - 250}{250} = \frac{-30}{250} = -0,12$.
En pourcentage : $-0,12 × 100 = -12\%$.
Le nombre d'inscrits a diminué de $12\%$.
Étape 1 : Calcul du prix le mardi.
Prix initial lundi $V_L = 120\text{ €}$.
Baisse de $15\%$. Coefficient multiplicateur $CM_1 = 1 - \frac{15}{100} = 1 - 0,15 = 0,85$.
Prix mardi $V_M = V_L × CM_1 = 120 × 0,85 = 102\text{ €}$.
Étape 2 : Calcul du prix le mercredi.
Prix initial mardi $V_M = 102\text{ €}$.
Augmentation de $10\%$. Coefficient multiplicateur $CM_2 = 1 + \frac{10}{100} = 1 + 0,1 = 1,1$.
Prix mercredi $V_Me = V_M × CM_2 = 102 × 1,1 = 112,20\text{ €}$.
Étape 3 : Calcul du taux d'évolution global.
Valeur initiale (lundi) $V_i = 120\text{ €}$.
Valeur finale (mercredi) $V_f = 112,20\text{ €}$.
Taux d'évolution global $t = \frac{V_f - V_i}{V_i} = \frac{112,20 - 120}{120} = \frac{-7,8}{120} = -0,065$.
En pourcentage : $-0,065 × 100 = -6,5\%$.
L'action a globalement diminué de $6,5\%$ entre le lundi et le mercredi.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un taux d'évolution et un coefficient multiplicateur ?

Le taux d'évolution $t$ est la variation relative, souvent exprimée en pourcentage. Le coefficient multiplicateur $CM$ est le facteur par lequel on multiplie la valeur initiale pour obtenir la valeur finale. Ils sont liés par la formule $CM = 1 + t$. Si $t$ est en pourcentage, il faut le diviser par $100$ avant de l'ajouter à $1$.

Peut-on additionner des taux d'évolution successifs ?

Non, on ne peut pas additionner des taux d'évolution successifs directement. Par exemple, une augmentation de $10\%$ suivie d'une autre augmentation de $10\%$ ne donne pas une augmentation de $20\%$. Il faut utiliser les coefficients multiplicateurs : $CM_{global} = CM_1 × CM_2$. Ensuite, on peut retrouver le taux global avec $t_{global} = CM_{global} - 1$.

Comment calculer la valeur initiale ou finale si on connaît le taux d'évolution ?

Si vous connaissez $V_i$ et $t$, vous pouvez trouver $V_f$ avec $V_f = V_i × (1 + t)$. Si vous connaissez $V_f$ et $t$, vous pouvez trouver $V_i$ avec $V_i = \frac{V_f}{1 + t}$. (Attention, $t$ doit être sous forme décimale, pas en pourcentage).

Un taux d'évolution peut-il être supérieur à $100\%$ ?

Oui, un taux d'augmentation peut être supérieur à $100\%$. Par exemple, si un prix passe de $10\text{ €}$ à $30\text{ €}$, le taux d'évolution est de $\frac{30-10}{10} = \frac{20}{10} = 2$, soit $200\%$. Cela signifie que la valeur a triplé (augmenté de deux fois sa valeur initiale).

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