Géométrie dans l'Espace · Fiche N°81 / 104

Agrandissement : effet sur les aires

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

Un agrandissement (ou une réduction) est une transformation géométrique qui multiplie toutes les longueurs par un même nombre $k$ appelé coefficient d'agrandissement (ou de réduction).

Si $k > 1$, c'est un agrandissement.
Si $0 < k < 1$, c'est une réduction.

L'effet de ce coefficient sur les aires est le suivant :
Si les longueurs sont multipliées par $k$, alors les aires sont multipliées par $k^2$.

Autrement dit, si $A'$ est l'aire de la figure agrandie (ou réduite) et $A$ est l'aire de la figure originale, alors :
$$A' = k^2 × A$$

Aires multipliees par k²
💡 Bon réflexe : Toujours vérifier si on parle de longueurs, d'aires ou de volumes pour appliquer le bon facteur ($k$, $k^2$ ou $k^3$). Si on te donne des aires et que tu dois trouver un coefficient pour les longueurs, pense à la racine carrée !

Méthode — Agrandissement : effet sur les aires

1

Identifier le coefficient d'agrandissement $k$

Le coefficient $k$ est le rapport entre une longueur de la figure agrandie (ou réduite) et la longueur correspondante de la figure originale. $k = \frac{\text{longueur agrandie/réduite}}{\text{longueur originale}}$. Assurez-vous de toujours diviser la nouvelle longueur par l'ancienne.

2

Calculer $k^2$

Une fois le coefficient $k$ déterminé, calculez sa valeur au carré, soit $k × k$ ou $k^2$. C'est ce facteur qui affectera l'aire.

3

Appliquer la formule pour trouver l'aire

Utilisez la formule $A' = k^2 × A$, où $A'$ est l'aire de la figure agrandie (ou réduite) et $A$ est l'aire de la figure originale. Si vous cherchez l'aire originale à partir de l'aire agrandie, la formule devient $A = \frac{A'}{k^2}$.

Exemple résolu

Considérons un rectangle $ABCD$ de longueur $L = 6 \text{ cm}$ et de largeur $l = 3 \text{ cm}$. Son aire est $A = L × l = 6 × 3 = 18 \text{ cm}^2$.
On effectue un agrandissement de ce rectangle avec un coefficient $k = 2$.

1
Calculer les nouvelles dimensions du rectangle $A'B'C'D'$.
Nouvelle longueur $L' = k × L = 2 × 6 = 12 \text{ cm}$.
Nouvelle largeur $l' = k × l = 2 × 3 = 6 \text{ cm}$. — Les longueurs sont multipliées par le coefficient $k$.
2
Calculer l'aire du nouveau rectangle $A'B'C'D'$ en utilisant les nouvelles dimensions.
Aire $A' = L' × l' = 12 × 6 = 72 \text{ cm}^2$. — L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur.
3
Vérifier la relation entre l'aire originale $A$ et l'aire agrandie $A'$ en utilisant le coefficient $k$.
$k^2 = 2^2 = 4$.
$A' = k^2 × A = 4 × 18 = 72 \text{ cm}^2$. — L'aire est multipliée par $k^2$. Les deux méthodes donnent le même résultat, ce qui confirme la propriété.

Cet exemple montre bien que lorsque les longueurs sont multipliées par $k=2$, l'aire est multipliée par $k^2=4$.

⚠️ Confondre l'effet sur les longueurs et sur les aires

  1. Appliquer le coefficient $k$ directement à l'aire, au lieu de $k^2$.
  2. Par exemple, si un agrandissement a un coefficient $k=3$ et que l'aire originale est $10 \text{ cm}^2$, l'aire agrandie n'est PAS $3 × 10 = 30 \text{ cm}^2$.
  3. L'aire agrandie est $k^2 × A = 3^2 × 10 = 9 × 10 = 90 \text{ cm}^2$.
  4. Retenez bien : longueurs par $k$, aires par $k^2$, volumes par $k^3$ !

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Exercice type Brevet

Un triangle $ABC$ a une aire de $24 \text{ cm}^2$. On réalise une réduction de ce triangle pour obtenir un triangle $A'B'C'$ tel que le côté $A'B'$ mesure $3 \text{ cm}$ et le côté $AB$ correspondant mesure $12 \text{ cm}$.

1. Quel est le coefficient de réduction $k$ ?
2. Quelle est l'aire du triangle réduit $A'B'C'$ ?
1. Le coefficient de réduction $k$ est le rapport entre une longueur de la figure réduite et la longueur correspondante de la figure originale :
$$k = \frac{A'B'}{AB} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0,25$$
2. L'aire du triangle réduit $A'B'C'$ est obtenue en multipliant l'aire originale par $k^2$ :
$$A' = k^2 × A$$
$$A' = \left(\frac{1}{4}\right)^2 × 24$$
$$A' = \frac{1}{16} × 24$$
$$A' = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1,5 \text{ cm}^2$$
L'aire du triangle réduit $A'B'C'$ est $1,5 \text{ cm}^2$.

Questions fréquentes

Comment savoir si c'est un agrandissement ou une réduction ?
Si le coefficient $k$ est supérieur à $1$ ($k > 1$), c'est un agrandissement. Si le coefficient $k$ est compris entre $0$ et $1$ ($0 < k < 1$), c'est une réduction.
La propriété s'applique-t-elle à toutes les formes géométriques ?
Oui, cette propriété est générale et s'applique à toutes les figures planes (triangles, carrés, cercles, polygones, etc.) et même aux surfaces courbes.
Que se passe-t-il si $k=1$ ?
Si $k=1$, cela signifie que les longueurs ne changent pas. Dans ce cas, $k^2 = 1^2 = 1$, donc l'aire ne change pas non plus. C'est une isométrie (la figure est identique).
Y a-t-il un lien avec les volumes ?
Oui, il y a une propriété similaire pour les volumes. Si les longueurs sont multipliées par $k$, alors les volumes sont multipliés par $k^3$. C'est une extension logique : longueur $k^1$, aire $k^2$, volume $k^3$.

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