Agrandissement : effet sur les volumes – Fiche Brevet Maths

Q: Que se passe-t-il si $k=1$ ?

Si $k=1$, la figure n'est ni agrandie ni réduite. Le volume reste le même car $1^3 = 1$, donc $V_2 = 1 × V_1 = V_1$.

Q: Peut-on utiliser cette formule pour toutes les formes géométriques ?

Oui, cette propriété est valable pour toutes les figures géométriques en 3D (cubes, sphères, pyramides, cylindres, cônes, etc.), à condition que l'agrandissement ou la réduction soit uniforme dans toutes les dimensions.

Q: Comment trouver le coefficient $k$ si je connais les volumes ?

Si vous connaissez $V_1$ et $V_2$, vous pouvez trouver $k^3 = \frac{V_2}{V_1}$. Pour trouver $k$, il faut prendre la racine cubique : $k = \sqrt[3]{\frac{V_2}{V_1}}$.

Définition

Lorsqu'une figure est agrandie ou réduite, toutes ses dimensions (longueur, largeur, hauteur) sont multipliées par un même nombre $k$, appelé coefficient d'agrandissement ou de réduction.

Si $k > 1$, il s'agit d'un agrandissement.
Si $0 < k < 1$, il s'agit d'une réduction.

L'effet de cet agrandissement/réduction sur le volume est le suivant :
Si $V_1$ est le volume de la figure initiale et $V_2$ est le volume de la figure agrandie/réduite par un coefficient $k$, alors :
$$V_2 = k^3 × V_1$$
Autrement dit, le volume est multiplié par $k^3$.

Volumes multiplies par k³

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier si le coefficient $k$ est pour les longueurs, les aires ou les volumes, et ajuster la puissance ($k$, $k^2$ ou $k^3$) en conséquence.

Méthode — Agrandissement : effet sur les volumes

Identifier le coefficient d'agrandissement/réduction $k$

Pour trouver $k$, on divise une dimension de la figure agrandie/réduite par la dimension correspondante de la figure initiale. Par exemple, si la longueur d'un côté passe de $L_1$ à $L_2$, alors $k = \frac{L_2}{L_1}$. Assurez-vous d'utiliser des dimensions correspondantes.

Calculer $k^3$

Une fois $k$ trouvé, calculez sa valeur au cube : $k^3$. C'est le facteur par lequel le volume sera multiplié.

Appliquer la formule du volume

Si le volume initial est $V_1$, le nouveau volume $V_2$ sera $V_2 = k^3 × V_1$. Si vous connaissez $V_2$ et $k$, vous pouvez trouver $V_1$ en faisant $V_1 = \frac{V_2}{k^3}$.

Exemple résolu

Un cône de révolution a un volume $V_1 = 120 \text{ cm}^3$. On réalise un agrandissement de ce cône par un coefficient $k = 2$. Quel est le volume $V_2$ du nouveau cône ?

Le coefficient d'agrandissement est-il supérieur à 1 ?

✓ OuiIci, $k = 2$, ce qui est bien supérieur à 1. Il s'agit donc d'un agrandissement.

Le volume sera-t-il plus grand ou plus petit ?

Plus grand — Puisqu'il s'agit d'un agrandissement ($k > 1$), le volume final sera plus grand que le volume initial.

Calculer le facteur d'agrandissement du volume.

$k^3 = 2^3 = 8$ — Le volume sera multiplié par $k^3$.

Calculer le nouveau volume $V_2$.

$V_2 = 960 \text{ cm}^3$ — $V_2 = k^3 × V_1 = 8 × 120 = 960 \text{ cm}^3$.

Le volume du nouveau cône, agrandi par un coefficient $2$, est de $960 \text{ cm}^3$.

⚠️ Confondre les facteurs d'agrandissement pour les longueurs, les aires et les volumes

Un piège courant est d'utiliser $k$ ou $k^2$ au lieu de $k^3$ pour les volumes. Rappelez-vous bien :
Les longueurs (périmètres, arêtes, rayons) sont multipliées par $k$.
Les aires (surfaces, aires latérales, aires de base) sont multipliées par $k^2$.
Les volumes sont multipliés par $k^3$.

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Exercice type Brevet

Un aquarium a la forme d'un pavé droit de dimensions $50 \text{ cm}$ de longueur, $30 \text{ cm}$ de largeur et $40 \text{ cm}$ de hauteur.
1. Calculer le volume de cet aquarium en $\text{cm}^3$.
2. On réalise une réduction de cet aquarium avec un coefficient $k = 0,5$. Quelles sont les nouvelles dimensions de l'aquarium réduit ?
3. Calculer le volume de l'aquarium réduit en utilisant les nouvelles dimensions.
4. Vérifier le résultat de la question 3 en utilisant la formule d'agrandissement/réduction des volumes.

1. Le volume de l'aquarium initial est $V_1 = L × l × h = 50 × 30 × 40 = 60000 \text{ cm}^3$.

2. Les nouvelles dimensions sont :
Longueur réduite : $50 × 0,5 = 25 \text{ cm}$
Largeur réduite : $30 × 0,5 = 15 \text{ cm}$
Hauteur réduite : $40 × 0,5 = 20 \text{ cm}$

3. Le volume de l'aquarium réduit est $V_2 = 25 × 15 × 20 = 7500 \text{ cm}^3$.

4. En utilisant la formule, $V_2 = k^3 × V_1$.
$k^3 = (0,5)^3 = 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125$.
$V_2 = 0,125 × 60000 = 7500 \text{ cm}^3$.
Les deux résultats sont identiques, la formule est vérifiée.

Questions fréquentes

Comment savoir si c'est un agrandissement ou une réduction ?

Si le coefficient $k$ est supérieur à $1$ ($k > 1$), c'est un agrandissement. Si $k$ est compris entre $0$ et $1$ ($0 < k < 1$), c'est une réduction.

Que se passe-t-il si $k=1$ ?

Si $k=1$, la figure n'est ni agrandie ni réduite. Le volume reste le même car $1^3 = 1$, donc $V_2 = 1 × V_1 = V_1$.

Peut-on utiliser cette formule pour toutes les formes géométriques ?

Oui, cette propriété est valable pour toutes les figures géométriques en 3D (cubes, sphères, pyramides, cylindres, cônes, etc.), à condition que l'agrandissement ou la réduction soit uniforme dans toutes les dimensions.

Comment trouver le coefficient $k$ si je connais les volumes ?

Si vous connaissez $V_1$ et $V_2$, vous pouvez trouver $k^3 = \frac{V_2}{V_1}$. Pour trouver $k$, il faut prendre la racine cubique : $k = \sqrt[3]{\frac{V_2}{V_1}}$.

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