Définition
Un agrandissement est une transformation géométrique qui multiplie toutes les longueurs d'une figure par un même nombre $k$, appelé coefficient d'agrandissement. Si $k > 1$, il s'agit d'un agrandissement. Si $0 < k < 1$, il s'agit d'une réduction. Dans le cas d'un agrandissement, la figure obtenue est plus grande que la figure initiale, mais elle conserve la même forme (les angles ne sont pas modifiés).
Méthode — Agrandissement : effet sur les longueurs
Identifier la figure initiale et la figure agrandie
Il est essentiel de bien distinguer la figure de départ (originale) et la figure d'arrivée (agrandie). Par exemple, si un triangle $ABC$ est agrandi en un triangle $A'B'C'$, alors $ABC$ est la figure initiale et $A'B'C'$ est la figure agrandie.
Déterminer le coefficient d'agrandissement $k$
Le coefficient d'agrandissement $k$ est le rapport entre une longueur de la figure agrandie et la longueur correspondante de la figure initiale. $$\text{Coefficient d'agrandissement } k = \frac{\text{Longueur agrandie}}{\text{Longueur initiale}}$$ Pour trouver $k$, il faut connaître au moins une paire de longueurs correspondantes. Par exemple, si $AB$ est une longueur initiale et $A'B'$ sa longueur agrandie, alors $k = \frac{A'B'}{AB}$.
Appliquer le coefficient aux autres longueurs
Une fois le coefficient $k$ déterminé, toutes les autres longueurs de la figure agrandie peuvent être calculées en multipliant les longueurs correspondantes de la figure initiale par $k$. $$\text{Longueur agrandie} = k × \text{Longueur initiale}$$ Par exemple, si $BC$ est une longueur initiale, la longueur agrandie $B'C'$ sera $B'C' = k × BC$.
Exemple résolu
Soit un triangle $ABC$ dont les côtés mesurent $AB = 3$ cm, $BC = 4$ cm et $AC = 5$ cm. Ce triangle est agrandi pour former un triangle $A'B'C'$ tel que le côté $A'B'$ mesure $6$ cm.
Le triangle $A'B'C'$ a des côtés de $6$ cm, $8$ cm et $10$ cm. Toutes les longueurs ont été multipliées par le coefficient $k=2$.
⚠️ Confondre agrandissement et réduction
- Un piège courant est de ne pas savoir si l'on doit multiplier ou diviser.
- Si la figure finale est plus grande que l'initiale, c'est un agrandissement et $k > 1$.
- Si elle est plus petite, c'est une réduction et $0 < k < 1$.
- Le coefficient est toujours $\frac{\text{longueur finale}}{\text{longueur initiale}}$.
- Si on calcule $\frac{\text{longueur initiale}}{\text{longueur finale}}$, on obtient le coefficient inverse, qui est celui de la réduction si on part de la grande figure vers la petite, ou de l'agrandissement si on part de la petite vers la grande.
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Exercice type Brevet
Un architecte réalise la maquette d'un bâtiment. La maquette a une hauteur de $20$ cm. Le bâtiment réel aura une hauteur de $10$ mètres.1. Quel est le coefficient d'agrandissement pour passer de la maquette au bâtiment réel ? (Attention aux unités!)
2. Si une fenêtre de la maquette mesure $2$ cm de large, quelle sera la largeur de la fenêtre sur le bâtiment réel ?
Coefficient d'agrandissement $k = \frac{\text{Hauteur réelle}}{\text{Hauteur maquette}} = \frac{1000 \text{ cm}}{20 \text{ cm}} = 50$.
Le coefficient d'agrandissement est $50$.
2. Largeur réelle de la fenêtre = $k × \text{Largeur maquette} = 50 × 2 \text{ cm} = 100 \text{ cm} = 1$ mètre.
La largeur de la fenêtre sur le bâtiment réel sera de $1$ mètre.
Questions fréquentes
Les angles changent-ils lors d'un agrandissement ?
Comment savoir si c'est un agrandissement ou une réduction ?
Est-ce que le périmètre est aussi multiplié par $k$ ?
Comment calculer le coefficient si je n'ai pas de longueurs correspondantes ?
Pour aller plus loin
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