Géométrie dans l'Espace · Fiche N°79 / 104

Section d'un cylindre par un plan

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

La section d'un cylindre de révolution par un plan est la figure géométrique obtenue en "coupant" le cylindre avec un plan. La forme de cette section dépend de l'orientation du plan par rapport à l'axe du cylindre.

Section d'un cylindre par un plan parallele
💡 Bon réflexe : Dessine toujours le cylindre et le plan de coupe pour mieux visualiser la section obtenue.

Méthode — Section d'un cylindre par un plan

1

Identifier le type de plan

Déterminez si le plan est parallèle à la base, perpendiculaire à la base (et passant par l'axe ou non), ou oblique par rapport à la base.

2

Visualiser la coupe

Imaginez la forme que prendrait la surface de contact entre le plan et le cylindre. Pensez à la façon dont le plan "tranche" le cylindre.

3

Décrire la figure obtenue

Selon l'orientation du plan, la section sera un cercle, un rectangle, ou une ellipse. Précisez les dimensions (rayon, longueur, largeur) si possible.

Exemple résolu

Considérons un cylindre de révolution de rayon $R$ et de hauteur $H$. Analysons les différentes sections possibles.

1
Plan parallèle à la base
La section est un cercle de même rayon $R$ que la base du cylindre.
2
Plan perpendiculaire à la base et passant par l'axe
La section est un rectangle dont la longueur est la hauteur $H$ du cylindre et la largeur est le diamètre $2R$ du cylindre.
3
Plan perpendiculaire à la base et ne passant pas par l'axe
La section est un rectangle dont la longueur est la hauteur $H$ du cylindre et la largeur est une corde du cercle de base. Cette largeur est inférieure à $2R$.
4
Plan oblique par rapport à la base
La section est une ellipse. Si le plan coupe les deux bases, elle peut être un ovale plus complexe.

Il est crucial de bien visualiser la position du plan par rapport au cylindre pour déterminer la forme de la section.

⚠️ Confondre la section avec la projection

  1. Ne pas confondre la section (la surface de coupe) avec la projection du cylindre sur un plan.
  2. La section est une figure plane réelle, tandis que la projection est l'ombre portée du volume.
  3. Par exemple, la projection d'un cylindre sur un plan horizontal est un cercle, mais sa section par un plan vertical n'est pas toujours un cercle.

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Exercice type Brevet

Exercice : Identifier les sections

Un cylindre de révolution a un rayon de base de $5 \text{ cm}$ et une hauteur de $10 \text{ cm}$.

  1. Quelle est la nature et les dimensions de la section si le plan est parallèle à la base et situé à $3 \text{ cm}$ de celle-ci ?
  2. Quelle est la nature et les dimensions de la section si le plan est perpendiculaire à la base et passe par l'axe du cylindre ?
  3. Quelle est la nature de la section si le plan est oblique par rapport à la base et ne coupe qu'une seule base ?

Corrigé de l'exercice

  1. Le plan est parallèle à la base. La section est donc un cercle. Son rayon est le même que celui de la base, soit $5 \text{ cm}$. La distance au plan n'affecte pas la forme ou le rayon, seulement la position du cercle.
  2. Le plan est perpendiculaire à la base et passe par l'axe. La section est donc un rectangle. Sa longueur est la hauteur du cylindre, soit $10 \text{ cm}$. Sa largeur est le diamètre du cylindre, soit $2 × 5 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$. C'est donc un carré de $10 \text{ cm}$ de côté.
  3. Le plan est oblique par rapport à la base et ne coupe qu'une seule base. La section est une ellipse.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un cylindre de révolution ?
Un cylindre de révolution est un solide engendré par la rotation d'un rectangle autour de l'un de ses côtés. Il est caractérisé par deux bases circulaires parallèles et une surface latérale courbe.
La section d'un cylindre peut-elle être un triangle ?
Non, la section d'un cylindre par un plan ne peut jamais être un triangle. Les formes possibles sont le cercle, le rectangle ou l'ellipse.
Comment calculer l'aire d'une section rectangulaire ?
L'aire d'une section rectangulaire se calcule par la formule $A = \text{longueur} × \text{largeur}$. Si le plan passe par l'axe, la longueur est la hauteur du cylindre $H$ et la largeur est le diamètre $2R$. Donc $A = H × 2R$.
Est-ce que toutes les sections obliques sont des ellipses ?
Oui, si le plan coupe entièrement le cylindre sans être parallèle aux bases, la section est une ellipse. Si le plan est oblique mais ne coupe qu'une partie de la surface latérale et une base, la forme est plus complexe mais reste une courbe fermée.

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