Calculer l'aire de la sphère – Fiche Brevet Maths

Définition

L'aire d'une sphère est la mesure de sa surface externe. C'est une surface fermée dont tous les points sont à égale distance d'un point central appelé le centre de la sphère. La formule pour calculer l'aire $A$ d'une sphère de rayon $R$ est : $$A = 4 × \pi × R^2$$ où :

$A$ représente l'aire de la sphère, exprimée en unités de surface (par exemple, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$).
$\pi$ (pi) est une constante mathématique approximativement égale à $3,14159$.
$R$ est le rayon de la sphère, qui est la distance du centre de la sphère à n'importe quel point de sa surface.

Sphere de rayon R

💡 Bon réflexe : Vérifie toujours si l'énoncé donne le rayon ou le diamètre avant d'appliquer la formule. N'oublie pas les unités au carré !

Méthode — Calculer l'aire de la sphère

Identifier le rayon de la sphère

La première étape consiste à trouver la valeur du rayon $R$ de la sphère. Le rayon est la distance entre le centre de la sphère et n'importe quel point de sa surface. Si le diamètre $D$ est donné, rappelez-vous que le rayon est la moitié du diamètre : $R = \frac{D}{2}$.

Appliquer la formule de l'aire

Une fois que vous avez le rayon $R$, utilisez la formule de l'aire de la sphère : $A = 4 × \pi × R^2$. Remplacez $R$ par sa valeur numérique.

Effectuer le calcul

Calculez la valeur de $R^2$ (le rayon multiplié par lui-même). Ensuite, multipliez ce résultat par $4$ et par $\pi$. Si aucune consigne n'est donnée, vous pouvez laisser le résultat en fonction de $\pi$ (par exemple, $100\pi \text{ cm}^2$) ou utiliser une valeur approchée de $\pi$ (par exemple, $3,14$) pour obtenir une valeur numérique approchée.

Indiquer l'unité de mesure

N'oubliez pas d'exprimer l'aire avec l'unité de mesure appropriée au carré (par exemple, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$). L'unité de l'aire est toujours l'unité de longueur au carré.

Exemple résolu

Calculons l'aire de différentes sphères.

Une sphère a un rayon $R = 5 \text{ cm}$.

En utilisant la formule $A = 4 × \pi × R^2$ : $A = 4 × \pi × (5 \text{ cm})^2 = 4 × \pi × 25 \text{ cm}^2 = 100\pi \text{ cm}^2$.
Valeur approchée : $100 × 3,14159 \approx 314,16 \text{ cm}^2$.

Une sphère a un diamètre $D = 10 \text{ m}$.

D'abord, calculons le rayon : $R = \frac{D}{2} = \frac{10 \text{ m}}{2} = 5 \text{ m}$.
Ensuite, appliquons la formule : $A = 4 × \pi × (5 \text{ m})^2 = 4 × \pi × 25 \text{ m}^2 = 100\pi \text{ m}^2$.
Valeur approchée : $100 × 3,14159 \approx 314,16 \text{ m}^2$.

Une sphère a un rayon $R = 1 \text{ km}$.

En utilisant la formule $A = 4 × \pi × R^2$ : $A = 4 × \pi × (1 \text{ km})^2 = 4 × \pi × 1 \text{ km}^2 = 4\pi \text{ km}^2$.
Valeur approchée : $4 × 3,14159 \approx 12,57 \text{ km}^2$.

Ces exemples montrent comment appliquer la formule de l'aire de la sphère en fonction du rayon ou du diamètre donné.

⚠️ Confusion entre rayon et diamètre, et entre aire et volume

Le piège le plus courant est de confondre le rayon $R$ et le diamètre $D$. Rappelez-vous que le diamètre est le double du rayon ($D = 2R$) et le rayon est la moitié du diamètre ($R = D/2$). Assurez-vous d'utiliser le rayon dans la formule de l'aire. Un autre piège est de confondre l'aire de la sphère avec son volume. L'aire est une mesure de surface ($A = 4 × \pi × R^2$), tandis que le volume est une mesure d'espace ($V = \frac{4}{3} × \pi × R^3$). Les formules sont différentes et ne doivent pas être interverties.

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Exercice type Brevet

Exercice : Calcul de l'aire de sphères

Calculez l'aire des sphères suivantes. Donnez la réponse exacte en fonction de $\pi$ puis une valeur approchée arrondie au centième (utilisez $\pi \approx 3,14159$).

Une sphère dont le rayon est de $7 \text{ cm}$.
Une sphère dont le diamètre est de $20 \text{ m}$.
Une sphère dont le rayon est de $2,5 \text{ mm}$.

Correction de l'exercice

Sphère de rayon $R = 7 \text{ cm}$ :
Formule : $A = 4 × \pi × R^2$
$A = 4 × \pi × (7 \text{ cm})^2$
$A = 4 × \pi × 49 \text{ cm}^2$
$A = 196\pi \text{ cm}^2$ (valeur exacte)
Valeur approchée : $A \approx 196 × 3,14159 \approx 615,75 \text{ cm}^2$ (arrondi au centième).
Sphère de diamètre $D = 20 \text{ m}$ :
D'abord, calculons le rayon : $R = \frac{D}{2} = \frac{20 \text{ m}}{2} = 10 \text{ m}$.
Formule : $A = 4 × \pi × R^2$
$A = 4 × \pi × (10 \text{ m})^2$
$A = 4 × \pi × 100 \text{ m}^2$
$A = 400\pi \text{ m}^2$ (valeur exacte)
Valeur approchée : $A \approx 400 × 3,14159 \approx 1256,64 \text{ m}^2$ (arrondi au centième).
Sphère de rayon $R = 2,5 \text{ mm}$ :
Formule : $A = 4 × \pi × R^2$
$A = 4 × \pi × (2,5 \text{ mm})^2$
$A = 4 × \pi × 6,25 \text{ mm}^2$
$A = 25\pi \text{ mm}^2$ (valeur exacte)
Valeur approchée : $A \approx 25 × 3,14159 \approx 78,54 \text{ mm}^2$ (arrondi au centième).

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre l'aire et le volume d'une sphère ?

L'aire d'une sphère est la mesure de sa surface externe, exprimée en unités carrées (ex: $\text{cm}^2$). Le volume d'une sphère est la mesure de l'espace qu'elle occupe, exprimé en unités cubiques (ex: $\text{cm}^3$). Les formules sont différentes : $A = 4 × \pi × R^2$ pour l'aire et $V = \frac{4}{3} × \pi × R^3$ pour le volume.

Pourquoi y a-t-il un $R^2$ dans la formule de l'aire ?

Le $R^2$ indique que l'aire est une mesure bidimensionnelle (longueur × largeur). Le rayon est une longueur, donc pour obtenir une surface, on le met au carré. Le facteur $4\pi$ est une constante qui ajuste cette mesure pour la forme spécifique de la sphère.

Dois-je toujours utiliser $3,14$ pour $\pi$ ?

Non, pas toujours. Si l'énoncé demande une valeur exacte, laissez $\pi$ dans votre réponse (par exemple, $100\pi$). Si l'énoncé demande une valeur approchée, utilisez la précision indiquée (par exemple, $3,14$ ou $3,14159$) ou la touche $\pi$ de votre calculatrice pour une meilleure précision.

Comment calculer l'aire d'une demi-sphère (hémisphère) ?

L'aire d'une demi-sphère est composée de deux parties : la moitié de l'aire de la sphère complète et l'aire du cercle de base. L'aire de la surface courbe est $\frac{1}{2} × (4 × \pi × R^2) = 2 × \pi × R^2$. L'aire du cercle de base est $\pi × R^2$. Donc, l'aire totale d'une demi-sphère est $2 × \pi × R^2 + \pi × R^2 = 3 × \pi × R^2$.

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