Définition
Le volume d'une boule est la mesure de l'espace qu'elle occupe. Une boule est un solide parfaitement rond dans l'espace tridimensionnel, où tous les points de sa surface sont à égale distance de son centre. Cette distance est appelée le rayon de la boule, noté $R$.
La formule pour calculer le volume $V$ d'une boule de rayon $R$ est :
$$V = \frac{4}{3} × \pi × R^3$$
où :
- $V$ est le volume de la boule, exprimé en unités cubiques (par exemple, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$).
- $\pi$ (pi) est une constante mathématique approximativement égale à $3,14159$.
- $R$ est le rayon de la boule, exprimé en unités de longueur (par exemple, $\text{cm}$, $\text{m}$).
- $R^3$ signifie $R × R × R$.
Méthode — Calculer le volume d'une boule
Identifier le rayon de la boule
La première étape consiste à identifier la valeur du rayon $R$ de la boule. Le rayon est la distance du centre de la boule à n'importe quel point de sa surface. Si l'énoncé donne le diamètre $D$, il faut le diviser par $2$ pour obtenir le rayon : $R = \frac{D}{2}$.
Appliquer la formule du volume
Une fois le rayon $R$ connu, substituez sa valeur dans la formule du volume de la boule : $V = \frac{4}{3} × \pi × R^3$.
Effectuer les calculs
Calculez $R^3$ en multipliant le rayon par lui-même trois fois ($R × R × R$). Ensuite, multipliez ce résultat par $\pi$ et par $\frac{4}{3}$. Il est souvent demandé de donner une valeur exacte (avec $\pi$) ou une valeur approchée (en remplaçant $\pi$ par $3,14$ ou la valeur de la calculatrice).
Indiquer l'unité de mesure
N'oubliez pas d'exprimer le volume avec l'unité de mesure appropriée, qui sera une unité de longueur au cube (par exemple, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$). Si le rayon est en $\text{cm}$, le volume sera en $\text{cm}^3$.
Exemple résolu
Calculons le volume d'une boule dans différents scénarios.
$V = \frac{4}{3} × \pi × (3)^3$
$V = \frac{4}{3} × \pi × 27$
$V = 4 × \pi × 9$
$V = 36\pi \text{ cm}^3$
Valeur approchée (avec $\pi \approx 3,14$): $V \approx 36 × 3,14 \approx 113,04 \text{ cm}^3$.
Ensuite, on applique la formule : $V = \frac{4}{3} × \pi × R^3$.
$V = \frac{4}{3} × \pi × (5)^3$
$V = \frac{4}{3} × \pi × 125$
$V = \frac{500}{3}\pi \text{ m}^3$
Valeur approchée (avec $\pi \approx 3,14$): $V \approx \frac{500}{3} × 3,14 \approx 166,67 × 3,14 \approx 523,33 \text{ m}^3$.
$V_{\text{boule}} = \frac{4}{3} × \pi × (6)^3$
$V_{\text{boule}} = \frac{4}{3} × \pi × 216$
$V_{\text{boule}} = 4 × \pi × 72$
$V_{\text{boule}} = 288\pi \text{ dm}^3$
Le volume de la demi-boule est la moitié :
$V_{\text{demi-boule}} = \frac{1}{2} × V_{\text{boule}} = \frac{1}{2} × 288\pi = 144\pi \text{ dm}^3$.
Ces exemples montrent comment appliquer la formule du volume de la boule en fonction des données fournies (rayon ou diamètre) et comment gérer les cas particuliers comme les demi-boules.
⚠️ Confondre rayon et diamètre, ou oublier le cube
- Le piège le plus courant est d'utiliser le diamètre $D$ directement dans la formule au lieu du rayon $R$, ou d'oublier d'élever le rayon à la puissance $3$ ($R^3$) et de le laisser à la puissance $2$ ($R^2$) ou $1$ ($R$).
- Assurez-vous toujours de travailler avec le rayon et de bien calculer $R × R × R$.
- Une autre erreur est d'oublier le facteur $\frac{4}{3}$ ou de mal le calculer.
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Exercice type Brevet
Exercice : Calcul de volumes de boules
- Calcule le volume exact d'une boule de rayon $R = 4$ cm.
- Calcule le volume approché au centième près d'une boule de diamètre $D = 8$ m (utilise $\pi \approx 3,14159$).
- Une sphère a un volume de $288\pi \text{ cm}^3$. Quel est son rayon ?
Correction de l'exercice
- Volume d'une boule de rayon $R = 4$ cm :
La formule est $V = \frac{4}{3} × \pi × R^3$.
$V = \frac{4}{3} × \pi × (4)^3$
$V = \frac{4}{3} × \pi × 64$
$V = \frac{256}{3}\pi \text{ cm}^3$
Le volume exact est $\frac{256}{3}\pi \text{ cm}^3$. - Volume d'une boule de diamètre $D = 8$ m :
D'abord, on trouve le rayon : $R = \frac{D}{2} = \frac{8}{2} = 4$ m.
La formule est $V = \frac{4}{3} × \pi × R^3$.
$V = \frac{4}{3} × \pi × (4)^3$
$V = \frac{4}{3} × \pi × 64$
$V = \frac{256}{3}\pi \text{ m}^3$
Pour la valeur approchée : $V \approx \frac{256}{3} × 3,14159 \approx 85,3333 × 3,14159 \approx 268,0825 \text{ m}^3$
Arrondi au centième près, le volume est $268,08 \text{ m}^3$. - Rayon d'une sphère dont le volume est $288\pi \text{ cm}^3$ :
On a $V = \frac{4}{3} × \pi × R^3$.
On nous donne $V = 288\pi$.
Donc, $288\pi = \frac{4}{3} × \pi × R^3$
On peut diviser les deux côtés par $\pi$ :
$288 = \frac{4}{3} × R^3$
Pour isoler $R^3$, on multiplie par $\frac{3}{4}$ :
$R^3 = 288 × \frac{3}{4}$
$R^3 = 72 × 3$
$R^3 = 216$
Pour trouver $R$, on prend la racine cubique de $216$ :
$R = \sqrt[3]{216}$
$R = 6$ cm
Le rayon de la sphère est $6$ cm.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une sphère et une boule ?
Pourquoi y a-t-il $\pi$ dans la formule ?
Comment calculer le volume d'une demi-boule ?
Comment faire si je n'ai pas de calculatrice pour $\pi$ ?
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