Géométrie dans l'Espace · Fiche N°77 / 104

Section d'une pyramide par un plan parallèle

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

La section d'une pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de la base.
Cela signifie que la section est une figure de même nature que la base (par exemple, si la base est un carré, la section est un carré) et que ses dimensions sont proportionnelles à celles de la base.

Section d'un pyramide par un plan parallele
💡 Bon réflexe : Toujours identifier le coefficient de réduction $k$ en premier, puis l'appliquer aux longueurs, aires ou volumes en l'élevant à la puissance appropriée ($k$, $k^2$, $k^3$).

Méthode — Section d'une pyramide par un plan parallèle

1

Identifier la nature de la base

Avant toute chose, déterminez la forme géométrique de la base de la pyramide (carré, triangle, rectangle, etc.). La section aura la même forme.

2

Comprendre la réduction

La section est une réduction de la base. Cela implique qu'il existe un coefficient de réduction $k$. Ce coefficient est le rapport entre une longueur de la section et la longueur correspondante de la base. Il est toujours $0 < k < 1$.

3

Calculer le coefficient de réduction $k$

Le coefficient $k$ peut être calculé de plusieurs manières :

  • Si $h'$ est la hauteur de la petite pyramide (formée par la section) et $h$ est la hauteur de la pyramide initiale, alors $k = \frac{h'}{h}$.
  • Si $L'$ est une longueur de la section et $L$ est la longueur correspondante de la base, alors $k = \frac{L'}{L}$.

4

Calculer les dimensions de la section

Une fois $k$ connu, vous pouvez trouver les dimensions de la section :

  • Longueurs : Longueur de la section $=$ $k ×$ Longueur de la base.
  • Aires : Aire de la section $=$ $k^2 ×$ Aire de la base.
  • Volumes : Volume de la petite pyramide $=$ $k^3 ×$ Volume de la grande pyramide.

Exemple résolu

Soit une pyramide régulière à base carrée $SABCD$ de hauteur $SO = 9$ cm et dont le côté de la base $AB = 6$ cm. Un plan parallèle à la base coupe la pyramide et forme une section $A'B'C'D'$ à une hauteur $SO' = 3$ cm du sommet $S$.

1
La section $A'B'C'D'$ est-elle un carré ?
✓ OuiLa base $ABCD$ est un carré, et la section par un plan parallèle à la base est de même nature que la base.
2
Quel est le coefficient de réduction $k$ ?
$k = \frac{1}{3}$ — Le coefficient de réduction est le rapport des hauteurs : $k = \frac{SO'}{SO} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
3
Quelle est la longueur du côté $A'B'$ de la section ?
$A'B' = 2$ cm — La longueur du côté de la section est $k × AB = \frac{1}{3} × 6 = 2$ cm.
4
Quelle est l'aire de la base $ABCD$ ?
Aire($ABCD$) = $36$ cm$^2$ — L'aire d'un carré est côté $×$ côté. Aire($ABCD$) = $6 × 6 = 36$ cm$^2$.
5
Quelle est l'aire de la section $A'B'C'D'$ ?
Aire($A'B'C'D'$) = $4$ cm$^2$ — L'aire de la section est $k^2 ×$ Aire($ABCD$) = $(\frac{1}{3})^2 × 36 = \frac{1}{9} × 36 = 4$ cm$^2$. On peut aussi calculer $A'B' × A'B' = 2 × 2 = 4$ cm$^2$.

Cet exemple montre comment le coefficient de réduction $k$ permet de déterminer les dimensions et les aires de la section réduite.

⚠️ Confondre les rapports d'aires et de volumes avec le rapport de longueurs

  1. Appliquer le coefficient de réduction $k$ directement aux aires ou aux volumes. Rappelez-vous que :
  2. Rapport de longueurs = $k$
  3. Rapport d'aires = $k^2$
  4. Rapport de volumes = $k^3$
  5. Ne pas oublier d'élever $k$ à la puissance appropriée !

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Exercice type Brevet

Une pyramide $SABC$ a pour base un triangle $ABC$ et pour hauteur $SA = 12$ cm. Le côté $AB = 8$ cm. Un plan parallèle à la base coupe la pyramide en $A'B'C'$ tel que $SA' = 3$ cm.

  1. Quelle est la nature de la section $A'B'C'$ ?
  2. Calculer le coefficient de réduction $k$.
  3. Calculer la longueur $A'B'$.
  4. Si l'aire de la base $ABC$ est de $24$ cm$^2$, quelle est l'aire de la section $A'B'C'$ ?
  5. Si le volume de la pyramide $SABC$ est de $32$ cm$^3$, quel est le volume de la petite pyramide $SA'B'C'$ ?
  1. La base $ABC$ est un triangle, donc la section $A'B'C'$ est aussi un triangle.
  2. Le coefficient de réduction $k$ est le rapport des hauteurs : $k = \frac{SA'}{SA} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
  3. La longueur $A'B'$ est $k × AB = \frac{1}{4} × 8 = 2$ cm.
  4. L'aire de la section $A'B'C'$ est $k^2 ×$ Aire($ABC$) = $(\frac{1}{4})^2 × 24 = \frac{1}{16} × 24 = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1,5$ cm$^2$.
  5. Le volume de la petite pyramide $SA'B'C'$ est $k^3 ×$ Volume($SABC$) = $(\frac{1}{4})^3 × 32 = \frac{1}{64} × 32 = \frac{32}{64} = \frac{1}{2} = 0,5$ cm$^3$.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une section par un plan parallèle ?
C'est la figure obtenue lorsque l'on coupe un solide (ici une pyramide) par un plan qui est parallèle à l'une de ses faces (ici la base).
La section est-elle toujours plus petite que la base ?
Oui, par définition, une section par un plan parallèle à la base est toujours une réduction de la base, donc plus petite.
Le coefficient de réduction $k$ peut-il être supérieur à 1 ?
Non, pour une section par un plan parallèle à la base, le coefficient de réduction $k$ est toujours compris entre 0 et 1 ($0 < k < 1$). Si $k=1$, la section serait la base elle-même.
Comment calculer le volume d'une pyramide ?
La formule générale du volume d'une pyramide est : Volume $= \frac{1}{3} ×$ Aire de la base $×$ hauteur.

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