Géométrie dans l'Espace · Fiche N°73 / 104

Reconnaître et décrire un cône

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

Un cône de révolution est un solide engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un de ses côtés de l'angle droit. Il est composé :

  • D'une base qui est un disque.
  • D'une surface latérale courbe.
  • D'un sommet.
Les éléments caractéristiques d'un cône sont :
  • Le rayon $r$ de sa base.
  • La hauteur $h$ du cône, qui est la distance entre le sommet et le centre de la base.
  • La génératrice $g$, qui est la longueur d'un segment reliant le sommet à un point du cercle de base. La génératrice est l'hypoténuse du triangle rectangle qui génère le cône.
La relation entre ces trois éléments est donnée par le théorème de Pythagore : $g^2 = r^2 + h^2$.

Cone de revolution
💡 Bon réflexe : Toujours visualiser le solide en 3D et son développement en 2D pour bien comprendre ses propriétés.

Méthode — Reconnaître et décrire un cône

1

Identifier les éléments clés

Pour reconnaître un cône, il faut identifier sa base (un disque), son sommet (un point unique) et sa surface latérale (courbe, reliant le sommet au périmètre de la base).

2

Mesurer les dimensions

Si des mesures sont données, identifiez le rayon $r$ de la base, la hauteur $h$ (distance du sommet au centre de la base) et la génératrice $g$ (distance du sommet à un point du cercle de base). Vérifiez la relation $g^2 = r^2 + h^2$ si toutes les mesures sont connues.

3

Visualiser le développement

Le développement d'un cône est composé d'un disque (la base) et d'un secteur circulaire (la surface latérale). Le rayon du secteur circulaire est la génératrice $g$, et la longueur de son arc est égale à la circonférence de la base du cône ($2 × \pi × r$). Le développement permet de mieux comprendre la structure du cône.

Exemple résolu

Considérons différents objets ou descriptions pour déterminer s'ils représentent un cône de révolution.

1
Un cornet de glace.
Il a une base circulaire (l'ouverture) et un sommet pointu, avec une surface latérale courbe.
2
Une pyramide à base carrée.
✗ NonSa base est un carré et ses faces latérales sont des triangles, pas une surface courbe.
3
Un cylindre.
✗ NonIl a deux bases circulaires parallèles et une surface latérale courbe, mais pas de sommet unique.
4
Un solide dont le développement est un disque de rayon $3 \text{ cm}$ et un secteur circulaire de rayon $5 \text{ cm}$ et d'angle $216°$.
Le disque est la base ($r=3 \text{ cm}$). Le secteur circulaire est la surface latérale ($g=5 \text{ cm}$). La longueur de l'arc du secteur est $2 \pi r = 2 \pi × 3 = 6 \pi \text{ cm}$. La longueur de l'arc du secteur est aussi $\frac{216}{360} × 2 \pi g = \frac{216}{360} × 2 \pi × 5 = \frac{3}{5} × 10 \pi = 6 \pi \text{ cm}$. Les longueurs correspondent, c'est donc un cône.

En analysant la forme de la base, la présence d'un sommet unique et la nature de la surface latérale, on peut déterminer si un solide est un cône de révolution.

⚠️ Confondre cône et pyramide

  1. Le piège le plus courant est de confondre un cône avec une pyramide.
  2. La différence fondamentale réside dans la base et la surface latérale : un cône a une base circulaire et une surface latérale courbe, tandis qu'une pyramide a une base polygonale (carrée, triangulaire, etc.) et des faces latérales planes (des triangles).

Pack Brevet Maths

Reçois 3 fiches gratuites pour préparer le Brevet

Les 3 fiches les plus importantes du programme de 3ème, en PDF prêt à imprimer. Offertes par Adil.

Pas de spam. Désinscription en un clic.

Exercice type Brevet

1. Parmi les objets suivants, lesquels peuvent être modélisés par un cône de révolution ?
a) Un chapeau de fête d'anniversaire.
b) Une boîte de conserve.
c) Une tente de camping en forme de tipi.
d) Un dé à jouer.

2. Un cône de révolution a un rayon de base $r = 6 \text{ cm}$ et une hauteur $h = 8 \text{ cm}$. Quelle est la longueur de sa génératrice $g$ ?

3. Décrivez le développement d'un cône de révolution.
1. a) Un chapeau de fête d'anniversaire : Oui, il a une base circulaire et un sommet.
c) Une tente de camping en forme de tipi : Oui, elle a une base circulaire et un sommet.

2. On utilise le théorème de Pythagore : $g^2 = r^2 + h^2$.
$g^2 = 6^2 + 8^2$
$g^2 = 36 + 64$
$g^2 = 100$
$g = \sqrt{100}$
$g = 10 \text{ cm}$.
La longueur de la génératrice est $10 \text{ cm}$.

3. Le développement d'un cône de révolution est composé de deux parties :
  • Un disque qui représente la base du cône. Son rayon est le rayon $r$ de la base du cône.
  • Un secteur circulaire qui représente la surface latérale du cône. Le rayon de ce secteur est la génératrice $g$ du cône, et la longueur de son arc est égale à la circonférence de la base du cône ($2 \pi r$).

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un cône et une pyramide ?
Un cône a une base circulaire et une surface latérale courbe qui se rejoint en un sommet. Une pyramide a une base polygonale (carrée, triangulaire, etc.) et des faces latérales planes (des triangles) qui se rejoignent en un sommet.
Comment calculer la génératrice d'un cône ?
La génératrice $g$ peut être calculée à l'aide du théorème de Pythagore si l'on connaît le rayon $r$ de la base et la hauteur $h$ du cône : $g^2 = r^2 + h^2$.
Qu'est-ce que le développement d'un cône ?
Le développement d'un cône est la représentation à plat de sa surface. Il est composé d'un disque (la base) et d'un secteur circulaire (la surface latérale).
Le sommet d'un cône est-il toujours directement au-dessus du centre de la base ?
Oui, pour un cône de révolution, le sommet est toujours aligné verticalement avec le centre de la base. C'est ce qui le distingue d'un cône oblique.

Pour aller plus loin

Votre enfant bloque sur ce chapitre ?

Adil explique la méthode en 1 séance. Cours en ligne disponibles partout en France à 20€/h.

📞 Être rappelé gratuitement Avance Immédiate →