Géométrie dans l'Espace · Fiche N°72 / 104

Calculer le volume d'une pyramide

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

Le volume d'une pyramide est la mesure de l'espace qu'elle occupe. Il se calcule en multipliant l'aire de sa base par sa hauteur, puis en divisant le résultat par $3$.
La formule générale est : $$V = \frac{1}{3} × A_{base} × h$$ où :

  • $V$ est le volume de la pyramide
  • $A_{base}$ est l'aire de la base de la pyramide (qui peut être un carré, un rectangle, un triangle, etc.)
  • $h$ est la hauteur de la pyramide (la distance perpendiculaire entre le sommet et le plan de la base)

Pyramide
💡 Bon réflexe : Toujours commencer par calculer l'aire de la base, puis multiplier par la hauteur et enfin diviser par 3. Vérifiez toujours les unités !

Méthode — Calculer le volume d'une pyramide

1

Identifier la forme de la base et calculer son aire

La base d'une pyramide peut être un polygone régulier ou irrégulier. Il faut d'abord identifier sa forme (carré, rectangle, triangle, etc.) et calculer son aire en utilisant la formule appropriée :

  • Carré : $A = c × c = c^2$ (où $c$ est la longueur d'un côté)
  • Rectangle : $A = L × l$ (où $L$ est la longueur et $l$ est la largeur)
  • Triangle : $A = \frac{b × h_{triangle}}{2}$ (où $b$ est la base du triangle et $h_{triangle}$ est sa hauteur)
  • Autre polygone : Utiliser la formule spécifique ou le décomposer en triangles.

2

Identifier la hauteur de la pyramide

La hauteur $h$ de la pyramide est la distance perpendiculaire entre le sommet de la pyramide et le plan contenant sa base. Elle est souvent donnée directement dans l'énoncé ou peut être calculée à l'aide du théorème de Pythagore si d'autres dimensions sont connues (par exemple, l'arête latérale et la diagonale de la base).

3

Appliquer la formule du volume

Une fois que vous avez l'aire de la base ($A_{base}$) et la hauteur ($h$), substituez ces valeurs dans la formule du volume de la pyramide : $$V = \frac{1}{3} × A_{base} × h$$ N'oubliez pas d'inclure les unités de mesure appropriées pour le volume (par exemple, $cm^3$, $m^3$).

Exemple résolu

Calculons le volume d'une pyramide à base carrée.

1
Une pyramide a une base carrée de côté $5$ cm et une hauteur de $9$ cm. Quel est son volume ?
✓ Oui1. Aire de la base : La base est un carré de côté $5$ cm. $A_{base} = 5 × 5 = 25$ $cm^2$.
2. Hauteur : La hauteur est donnée, $h = 9$ cm.
3. Volume : $V = \frac{1}{3} × A_{base} × h = \frac{1}{3} × 25 × 9 = 25 × 3 = 75$ $cm^3$.
2
Une pyramide a une base rectangulaire de longueur $6$ m et de largeur $4$ m. Sa hauteur est de $10$ m. Quel est son volume ?
✓ Oui1. Aire de la base : La base est un rectangle de $6$ m par $4$ m. $A_{base} = 6 × 4 = 24$ $m^2$.
2. Hauteur : La hauteur est donnée, $h = 10$ m.
3. Volume : $V = \frac{1}{3} × A_{base} × h = \frac{1}{3} × 24 × 10 = 8 × 10 = 80$ $m^3$.
3
Une pyramide a une base triangulaire dont la base mesure $8$ cm et la hauteur $6$ cm. La hauteur de la pyramide est de $12$ cm. Quel est son volume ?
✓ Oui1. Aire de la base : La base est un triangle. $A_{base} = \frac{8 × 6}{2} = \frac{48}{2} = 24$ $cm^2$.
2. Hauteur : La hauteur de la pyramide est donnée, $h = 12$ cm.
3. Volume : $V = \frac{1}{3} × A_{base} × h = \frac{1}{3} × 24 × 12 = 8 × 12 = 96$ $cm^3$.

Ces exemples montrent comment appliquer la formule du volume en fonction de la forme de la base.

⚠️ Confondre la hauteur de la base et la hauteur de la pyramide

  1. Dans le cas d'une base triangulaire, il y a deux hauteurs à considérer : la hauteur du triangle (pour calculer l'aire de la base) et la hauteur de la pyramide (pour calculer son volume).
  2. Assurez-vous de bien identifier laquelle utiliser à chaque étape.
  3. De même, ne confondez pas la hauteur de la pyramide avec la longueur d'une arête latérale ou l'apothème (hauteur d'une face latérale).
  4. La hauteur de la pyramide est toujours perpendiculaire à la base.

Pack Brevet Maths

Reçois 3 fiches gratuites pour préparer le Brevet

Les 3 fiches les plus importantes du programme de 3ème, en PDF prêt à imprimer. Offertes par Adil.

Pas de spam. Désinscription en un clic.

Exercice type Brevet

Exercice : Calcul de volume de pyramides

  1. Calcule le volume d'une pyramide dont la base est un carré de côté $7$ cm et la hauteur est de $15$ cm.
  2. Une pyramide a une base rectangulaire de $8$ m de long et $5$ m de large. Sa hauteur est de $12$ m. Quel est son volume ?
  3. Une pyramide a une base triangulaire. La base du triangle mesure $10$ cm et sa hauteur est de $7$ cm. La hauteur de la pyramide est de $18$ cm. Calcule son volume.

Correction de l'exercice

  1. Pyramide à base carrée :
    - Aire de la base : $A_{base} = 7 × 7 = 49$ $cm^2$
    - Hauteur de la pyramide : $h = 15$ cm
    - Volume : $V = \frac{1}{3} × 49 × 15 = 49 × 5 = 245$ $cm^3$
    Le volume de la pyramide est de $245$ $cm^3$.
  2. Pyramide à base rectangulaire :
    - Aire de la base : $A_{base} = 8 × 5 = 40$ $m^2$
    - Hauteur de la pyramide : $h = 12$ m
    - Volume : $V = \frac{1}{3} × 40 × 12 = 40 × 4 = 160$ $m^3$
    Le volume de la pyramide est de $160$ $m^3$.
  3. Pyramide à base triangulaire :
    - Aire de la base (triangle) : $A_{base} = \frac{10 × 7}{2} = \frac{70}{2} = 35$ $cm^2$
    - Hauteur de la pyramide : $h = 18$ cm
    - Volume : $V = \frac{1}{3} × 35 × 18 = 35 × 6 = 210$ $cm^3$
    Le volume de la pyramide est de $210$ $cm^3$.

Questions fréquentes

Pourquoi divise-t-on par 3 dans la formule du volume d'une pyramide ?
La division par $3$ est une propriété géométrique fondamentale. Il a été démontré que le volume d'une pyramide est toujours le tiers du volume d'un prisme ayant la même base et la même hauteur. C'est une relation qui peut être prouvée par le calcul intégral ou par des expériences de remplissage.
Comment trouver la hauteur d'une pyramide si elle n'est pas donnée directement ?
Si la hauteur n'est pas donnée, vous devrez souvent utiliser le théorème de Pythagore. Par exemple, si vous connaissez la longueur d'une arête latérale et la distance du centre de la base à un sommet de la base, vous pouvez former un triangle rectangle pour calculer la hauteur.
La formule s'applique-t-elle à toutes les pyramides, quelle que soit la forme de leur base ?
Oui, la formule $V = \frac{1}{3} × A_{base} × h$ est universelle pour toutes les pyramides, qu'elles aient une base carrée, rectangulaire, triangulaire, hexagonale, etc. La seule chose qui change est la méthode de calcul de l'aire de la base $A_{base}$.
Quelles sont les unités de mesure pour le volume ?
Les unités de volume sont des unités de longueur au cube, comme les centimètres cubes ($cm^3$), les mètres cubes ($m^3$), les millimètres cubes ($mm^3$), etc. Il est crucial de s'assurer que toutes les dimensions (côtés de la base, hauteur) sont dans la même unité avant de faire le calcul.

Pour aller plus loin

Votre enfant bloque sur ce chapitre ?

Adil explique la méthode en 1 séance. Cours en ligne disponibles partout en France à 20€/h.

📞 Être rappelé gratuitement Avance Immédiate →