Définition
Le volume d'un cône est la mesure de l'espace tridimensionnel qu'il occupe. Un cône est un solide géométrique composé d'une base circulaire et d'une surface latérale conique qui se rejoint en un point appelé le sommet.
La formule générale pour calculer le volume $V$ d'un cône est :
$$V = \frac{1}{3} × \text{Aire de la base} × \text{hauteur}$$
Puisque la base d'un cône est un cercle, son aire est donnée par la formule $\pi × r^2$, où $r$ est le rayon de la base.
Donc, la formule du volume d'un cône devient :
$$V = \frac{1}{3} × \pi × r^2 × h$$
où :
- $V$ est le volume du cône
- $\pi$ (pi) est une constante mathématique approximativement égale à $3,14159$
- $r$ est le rayon de la base circulaire du cône
- $h$ est la hauteur du cône (la distance perpendiculaire entre le sommet et le centre de la base)
Méthode — Calculer le volume d'un cône
Identifier les données nécessaires
Pour calculer le volume d'un cône, vous avez besoin de deux informations clés : le rayon $r$ de sa base circulaire et sa hauteur $h$. Assurez-vous que ces mesures sont dans la même unité (par exemple, cm, m).
Appliquer la formule du volume
Une fois que vous avez le rayon $r$ et la hauteur $h$, substituez ces valeurs dans la formule du volume du cône : $$V = \frac{1}{3} × \pi × r^2 × h$$
Effectuer le calcul
Commencez par calculer $r^2$, puis multipliez par $\pi$, par $h$, et enfin divisez le tout par $3$. N'oubliez pas d'utiliser les bonnes unités pour le résultat (par exemple, $cm^3$, $m^3$). Souvent, on vous demandera de donner une valeur exacte (avec $\pi$) ou une valeur approchée (en utilisant $\pi \approx 3,14$ ou la touche $\pi$ de votre calculatrice).
Exemple résolu
Calculons le volume d'un cône dont le rayon de la base est $3$ cm et la hauteur est $5$ cm.
2. Appliquer la formule : $V = \frac{1}{3} × \pi × r^2 × h$
3. Effectuer le calcul :
$V = \frac{1}{3} × \pi × (3)^2 × 5$
$V = \frac{1}{3} × \pi × 9 × 5$
$V = \frac{1}{3} × 45\pi$
$V = 15\pi$ cm$^3$
(Valeur approchée : $V \approx 15 × 3,14159 \approx 47,12$ cm$^3$)
Le volume exact du cône est $15\pi$ cm$^3$. Une valeur approchée est $47,12$ cm$^3$.
⚠️ Confondre diamètre et rayon, ou oublier le facteur $\frac{1}{3}$
- Assurez-vous de toujours utiliser le rayon $r$ dans la formule.
- Si le diamètre $D$ est donné, rappelez-vous que $r = \frac{D}{2}$.
- Un autre piège courant est d'oublier de diviser par $3$ (ou de multiplier par $\frac{1}{3}$).
- Le volume d'un cône n'est pas $\pi × r^2 × h$, mais bien $\frac{1}{3}$ de ce volume (qui est le volume d'un cylindre de même base et même hauteur).
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Exercice type Brevet
Un cône de chantier a un rayon de base de $20$ cm et une hauteur de $60$ cm.1. Calculez le volume exact de ce cône en cm$^3$.
2. Donnez une valeur approchée du volume à l'unité près en cm$^3$.
Formule : $V = \frac{1}{3} × \pi × r^2 × h$
Calcul : $V = \frac{1}{3} × \pi × (20)^2 × 60$
$V = \frac{1}{3} × \pi × 400 × 60$
$V = \frac{1}{3} × 24000\pi$
$V = 8000\pi$ cm$^3$
Le volume exact du cône est $8000\pi$ cm$^3$.
2. Valeur approchée : $V \approx 8000 × 3,14159 \approx 25132,72$ cm$^3$.
Arrondi à l'unité près : $V \approx 25133$ cm$^3$.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un cône et un cylindre ?
Comment trouver le rayon si on me donne le diamètre ?
Dois-je utiliser $\pi \approx 3,14$ ou la touche $\pi$ de ma calculatrice ?
Que faire si les unités ne sont pas les mêmes ?
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