Définition
Un patron d'une pyramide est un développement de toutes ses faces sur un même plan. Il permet de visualiser la pyramide à plat et de la construire en pliant et en collant. Une pyramide est un solide composé d'une base (un polygone) et de faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un point appelé le sommet.
Pour construire une pyramide, il faut connaître la forme de sa base et les dimensions de ses faces latérales. Les faces latérales sont des triangles dont un côté est une arête de la base et les deux autres côtés sont des arêtes latérales de la pyramide, se rejoignant au sommet.
Méthode — Construire le patron d'une pyramide
Étape 1 : Dessiner la base
Commencez par dessiner la base de la pyramide. Si la base est un carré de côté $c$, dessinez un carré de côté $c$. Si c'est un triangle équilatéral de côté $a$, dessinez un triangle équilatéral de côté $a$. Cette base sera la partie centrale de votre patron.
Étape 2 : Dessiner les faces latérales
À partir de chaque côté de la base, dessinez une face latérale. Les faces latérales d'une pyramide sont des triangles. Pour une pyramide régulière (base un polygone régulier et arêtes latérales de même longueur), toutes les faces latérales sont des triangles isocèles identiques.
Pour dessiner ces triangles, vous aurez besoin de la longueur des arêtes latérales de la pyramide. Si la hauteur de la pyramide $h$ et la distance du centre de la base au milieu d'un côté de la base $r$ sont connues, la longueur de l'apothème de la pyramide $a_p$ (hauteur d'une face latérale) peut être calculée avec le théorème de Pythagore : $a_p^2 = h^2 + r^2$. La longueur de l'arête latérale $L$ peut être calculée avec la distance du centre de la base à un sommet de la base $R$ : $L^2 = h^2 + R^2$.
Utilisez un compas pour tracer les arcs de cercle qui vous permettront de positionner le sommet de chaque triangle latéral. Le rayon du compas sera la longueur de l'arête latérale.
Étape 3 : Ajouter les languettes de collage
Pour assembler la pyramide, ajoutez de petites languettes de collage le long de certains côtés des faces latérales et/ou de la base. Ces languettes doivent être suffisamment larges pour permettre un collage efficace, mais pas trop pour ne pas gêner l'assemblage. Généralement, on les place sur les arêtes latérales et sur un ou plusieurs côtés de la base, en veillant à ce qu'elles ne se chevauchent pas de manière excessive.
Étape 4 : Découper, plier et coller
Découpez soigneusement le patron le long des contours extérieurs. Pliez toutes les arêtes (celles de la base, celles des faces latérales et les languettes de collage). Appliquez de la colle sur les languettes et assemblez la pyramide en joignant les faces latérales au sommet et en fixant les languettes.
Exemple résolu
Considérons une pyramide régulière à base carrée. Le côté de la base est de $4$ cm et la longueur des arêtes latérales est de $5$ cm.
En suivant ces étapes, on obtient un patron correct qui, une fois découpé et assemblé, formera une pyramide régulière à base carrée avec les dimensions spécifiées.
⚠️ Erreur de longueur des arêtes latérales ou de l'apothème
- Ne pas calculer correctement la longueur des arêtes latérales ou l'apothème (hauteur des faces latérales) si elles ne sont pas données directement. Si vous utilisez la hauteur de la pyramide $h$ et le côté de la base $c$, il faut utiliser le théorème de Pythagore. Pour une pyramide régulière à base carrée de côté $c$, la distance du centre de la base au milieu d'un côté est $r = \frac{c}{2}$. L'apothème $a_p$ est alors $a_p = \sqrt{h^2 + (\frac{c}{2})^2}$. C'est cette longueur qui est la hauteur des triangles latéraux. Si vous utilisez la distance du centre de la base à un sommet $R = \frac{c\sqrt{2}}{2}$, l'arête latérale $L$ est $L = \sqrt{h^2 + (\frac{c\sqrt{2}}{2})^2}$. Ne confondez pas l'apothème et l'arête latérale.
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Exercice type Brevet
Construire le patron d'une pyramide régulière à base triangulaire (tétraèdre régulier) dont toutes les arêtes mesurent $6$ cm.1. Quelle est la forme de la base ? Quelle est la longueur de ses côtés ?
2. Quelle est la forme des faces latérales ? Quelle est la longueur de leurs côtés ?
3. Dessinez le patron en incluant les languettes de collage.
4. Expliquez comment vous avez déterminé la forme et les dimensions de chaque partie du patron.
2. Les faces latérales sont également des triangles équilatéraux. La longueur de leurs côtés est de $6$ cm (deux côtés sont des arêtes latérales et un côté est une arête de la base).
3. Pour dessiner le patron :
a. Dessinez un triangle équilatéral de $6$ cm de côté (la base).
b. Sur chacun des trois côtés de ce triangle, dessinez un autre triangle équilatéral de $6$ cm de côté (les faces latérales).
c. Ajoutez des languettes de collage sur deux des côtés des faces latérales et sur un côté de la base (par exemple, sur les deux côtés d'un triangle latéral, et sur un côté d'un autre triangle latéral, et sur un côté du troisième triangle latéral, ou sur trois arêtes latérales et une arête de la base).
4. Justification : Puisqu'il s'agit d'un tétraèdre régulier, toutes ses faces sont des triangles équilatéraux identiques et toutes ses arêtes ont la même longueur. La base est un triangle équilatéral de $6$ cm. Les trois faces latérales sont aussi des triangles équilatéraux de $6$ cm de côté, attachés aux côtés de la base. Le patron est donc composé de quatre triangles équilatéraux de $6$ cm de côté, disposés en croix ou en trèfle autour d'un triangle central.
Questions fréquentes
Comment savoir où placer les languettes de collage ?
Que faire si la pyramide n'est pas régulière ?
Comment calculer la hauteur d'une face latérale (apothème) si je connais la hauteur de la pyramide et les dimensions de la base ?
Est-ce que l'ordre des étapes est important ?
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