Géométrie dans l'Espace · Fiche N°67 / 104

Reconnaître et décrire un prisme droit

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

Un prisme droit est un solide géométrique composé de deux bases polygonales identiques et parallèles, reliées par des faces latérales rectangulaires.

Les éléments clés d'un prisme droit sont :

  • Les bases : Ce sont les deux faces polygonales (triangles, carrés, pentagones, etc.) qui sont superposables et parallèles.
  • Les faces latérales : Ce sont des rectangles (ou des carrés) qui relient les côtés correspondants des bases. Leur nombre est égal au nombre de côtés du polygone de base.
  • Les arêtes : Ce sont les segments où se rencontrent deux faces. On distingue les arêtes des bases et les arêtes latérales. Les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases.
  • Les sommets : Ce sont les points où se rencontrent au moins trois arêtes.
  • La hauteur : C'est la distance entre les deux bases. Dans un prisme droit, la hauteur correspond à la longueur des arêtes latérales.

Le volume d'un prisme droit est donné par la formule : $$V = A_{base} × h$$ où $A_{base}$ est l'aire de la base et $h$ est la hauteur du prisme.

Prisme droit
💡 Bon réflexe : Pour reconnaître un prisme droit, cherchez toujours deux bases identiques et parallèles, et assurez-vous que toutes les faces latérales sont des rectangles.

Méthode — Reconnaître et décrire un prisme droit

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Étape 1 : Identifier les bases

Recherchez deux faces qui sont des polygones identiques (superposables) et parallèles. Ces deux faces seront les bases du prisme. Si vous ne trouvez pas deux telles faces, ce n'est pas un prisme.

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Étape 2 : Examiner les faces latérales

Vérifiez si toutes les autres faces (les faces latérales) sont des rectangles. Si au moins une face latérale n'est pas un rectangle, ce n'est pas un prisme droit. Si toutes les faces latérales sont des rectangles, alors c'est un prisme droit.

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Étape 3 : Décrire le prisme

Une fois que vous avez identifié un prisme droit, décrivez-le en précisant la nature de ses bases (par exemple, 'prisme droit à base triangulaire', 'prisme droit à base hexagonale'). Indiquez également le nombre de faces, d'arêtes et de sommets.

Exemple résolu

Considérons les solides suivants et déterminons s'ils sont des prismes droits.

1
Un solide avec deux bases carrées parallèles et des faces latérales rectangulaires.
Les bases sont des carrés identiques et parallèles. Les faces latérales sont des rectangles. C'est un prisme droit à base carrée (un pavé droit).
2
Un solide avec deux bases triangulaires parallèles et des faces latérales qui sont des parallélogrammes non rectangulaires.
✗ NonBien que les bases soient des triangles identiques et parallèles, les faces latérales ne sont pas des rectangles. C'est un prisme oblique, pas un prisme droit.
3
Un solide avec une base circulaire et une surface latérale courbe.
✗ NonUn prisme doit avoir des bases polygonales et des faces latérales planes. Ce solide est un cylindre, pas un prisme.
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Un solide avec une base pentagonale et des faces latérales rectangulaires, l'autre base étant également pentagonale et parallèle.
Les bases sont des pentagones identiques et parallèles. Les faces latérales sont des rectangles. C'est un prisme droit à base pentagonale.

En suivant ces étapes, il est possible de distinguer un prisme droit des autres solides géométriques.

⚠️ Confondre prisme droit et prisme oblique

  1. Un piège courant est de ne pas vérifier la nature des faces latérales.
  2. Un prisme oblique a également deux bases polygonales identiques et parallèles, mais ses faces latérales sont des parallélogrammes (non rectangulaires).
  3. Dans un prisme droit, les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases, ce qui rend les faces latérales rectangulaires.
  4. Assurez-vous toujours que les faces latérales sont des rectangles pour confirmer qu'il s'agit d'un prisme droit.

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Exercice type Brevet

1. Parmi les descriptions suivantes, lesquelles correspondent à un prisme droit ? Justifiez votre réponse.
a) Un solide dont les bases sont des hexagones réguliers et les faces latérales sont des rectangles.
b) Un solide dont les bases sont des triangles équilatéraux et les faces latérales sont des parallélogrammes.
c) Un solide dont la base est un carré et les faces latérales sont des triangles.

2. Décrivez un prisme droit ayant 10 sommets. Quelle est la nature de sa base ? Combien a-t-il de faces et d'arêtes ?
1. a) Oui. Les bases sont des hexagones réguliers (polygones identiques et parallèles) et les faces latérales sont des rectangles. C'est un prisme droit à base hexagonale.
b) Non. Bien que les bases soient des triangles équilatéraux (polygones identiques et parallèles), les faces latérales sont des parallélogrammes, pas des rectangles. C'est un prisme oblique.
c) Non. Un prisme doit avoir deux bases identiques et parallèles. Ici, il n'y a qu'une seule base carrée et les faces latérales sont des triangles, ce qui décrit une pyramide.

2. Un prisme droit a $2n$ sommets, où $n$ est le nombre de côtés de sa base. Si le prisme a 10 sommets, alors $2n = 10$, donc $n = 5$.
La base est donc un pentagone. C'est un prisme droit à base pentagonale.
Nombre de faces : $n + 2 = 5 + 2 = 7 faces (2 bases + 5 faces latérales).
Nombre d'arêtes : $3n = 3 × 5 = 15 arêtes (5 arêtes pour chaque base + 5 arêtes latérales).

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un prisme droit et un cylindre ?
Un prisme droit a des bases polygonales et des faces latérales planes et rectangulaires. Un cylindre a des bases circulaires et une surface latérale courbe.
Un cube est-il un prisme droit ?
Oui, un cube est un cas particulier de prisme droit. Ses bases sont des carrés et toutes ses faces latérales sont également des carrés (qui sont des rectangles particuliers). On peut le considérer comme un prisme droit à base carrée.
Comment calculer le volume d'un prisme droit ?
Le volume d'un prisme droit se calcule en multipliant l'aire de sa base par sa hauteur : $V = A_{base} × h$. Il faut donc d'abord savoir calculer l'aire du polygone qui forme la base.
Est-ce que toutes les arêtes d'un prisme droit ont la même longueur ?
Non. Les arêtes latérales d'un prisme droit ont toutes la même longueur (qui est la hauteur du prisme). Cependant, les arêtes des bases peuvent avoir des longueurs différentes, selon la nature du polygone de base (par exemple, un triangle isocèle ou un rectangle non carré).

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