Géométrie dans l'Espace · Fiche N°68 / 104

Calculer le volume d'un prisme droit

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

Le volume d'un prisme droit est la mesure de l'espace qu'il occupe. Il se calcule en multipliant l'aire de sa base par sa hauteur. Un prisme droit est un solide qui possède deux bases parallèles et superposables (polygones) et des faces latérales rectangulaires. La hauteur du prisme est la distance entre ses deux bases.

Prisme droit
💡 Bon réflexe : Toujours vérifier que toutes les dimensions sont dans la même unité avant de commencer les calculs.

Méthode — Calculer le volume d'un prisme droit

1

Identifier la base du prisme

La base d'un prisme droit est l'une des deux faces parallèles et superposables. Il peut s'agir d'un triangle, d'un carré, d'un rectangle, d'un trapèze, ou de tout autre polygone.

2

Calculer l'aire de la base ($A_b$)

Utilisez la formule appropriée pour calculer l'aire de la base, en fonction de sa forme :

  • Triangle : $A_b = \frac{\text{base} × \text{hauteur}}{2}$
  • Carré : $A_b = \text{côté} × \text{côté}$
  • Rectangle : $A_b = \text{longueur} × \text{largeur}$
  • Disque (pour un cylindre, qui est un cas particulier de prisme droit) : $A_b = \pi × \text{rayon}^2$
  • Trapèze : $A_b = \frac{(\text{grande base} + \text{petite base}) × \text{hauteur}}{2}$

3

Identifier la hauteur du prisme ($h$)

La hauteur du prisme droit est la distance perpendiculaire entre ses deux bases. Elle correspond à la longueur des arêtes latérales.

4

Appliquer la formule du volume

Une fois l'aire de la base ($A_b$) et la hauteur ($h$) connues, le volume ($V$) du prisme droit se calcule avec la formule : $$V = A_b × h$$

Exemple résolu

Calculons le volume d'un prisme droit dont la base est un triangle rectangle et dont la hauteur est de $10 \text{ cm}$. Les côtés du triangle rectangle mesurent $3 \text{ cm}$, $4 \text{ cm}$ et $5 \text{ cm}$.

1
Identifier la base
La base est un triangle rectangle.
2
Calculer l'aire de la base ($A_b$)
Pour un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit peuvent être considérés comme la base et la hauteur du triangle. Donc $A_b = \frac{3 \text{ cm} × 4 \text{ cm}}{2} = \frac{12 \text{ cm}^2}{2} = 6 \text{ cm}^2$.
3
Identifier la hauteur du prisme ($h$)
La hauteur du prisme est donnée : $h = 10 \text{ cm}$.
4
Appliquer la formule du volume ($V = A_b × h$)
$V = 6 \text{ cm}^2 × 10 \text{ cm} = 60 \text{ cm}^3$.

Le volume du prisme droit est de $60 \text{ cm}^3$.

⚠️ Confondre hauteur du prisme et hauteur de la base

  1. La hauteur de la base est une dimension interne à la base (par exemple, la hauteur d'un triangle ou d'un trapèze).
  2. La hauteur du prisme est la distance entre les deux bases.
  3. Assurez-vous de bien identifier ces deux mesures distinctes pour éviter les erreurs de calcul.

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Exercice type Brevet

Exercice : Calculer le volume d'un prisme droit

Un prisme droit a pour base un trapèze. Les bases du trapèze mesurent $8 \text{ cm}$ et $12 \text{ cm}$, et sa hauteur est de $5 \text{ cm}$. La hauteur du prisme est de $15 \text{ cm}$.

  1. Calculez l'aire de la base du prisme.
  2. Calculez le volume du prisme droit.

Correction de l'exercice

  1. Calcul de l'aire de la base :

    La base est un trapèze. La formule de l'aire d'un trapèze est $A_b = \frac{(\text{grande base} + \text{petite base}) × \text{hauteur du trapèze}}{2}$.

    $A_b = \frac{(12 \text{ cm} + 8 \text{ cm}) × 5 \text{ cm}}{2}$

    $A_b = \frac{20 \text{ cm} × 5 \text{ cm}}{2}$

    $A_b = \frac{100 \text{ cm}^2}{2}$

    $A_b = 50 \text{ cm}^2$

    L'aire de la base est de $50 \text{ cm}^2$.

  2. Calcul du volume du prisme droit :

    La formule du volume d'un prisme droit est $V = A_b × h$.

    Nous avons $A_b = 50 \text{ cm}^2$ et la hauteur du prisme $h = 15 \text{ cm}$.

    $V = 50 \text{ cm}^2 × 15 \text{ cm}$

    $V = 750 \text{ cm}^3$

    Le volume du prisme droit est de $750 \text{ cm}^3$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un prisme droit et un prisme oblique ?
Dans un prisme droit, les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases, ce qui signifie que les faces latérales sont des rectangles. Dans un prisme oblique, les arêtes latérales ne sont pas perpendiculaires aux bases, et les faces latérales sont des parallélogrammes (non nécessairement des rectangles).
Un cylindre est-il un prisme droit ?
Oui, un cylindre peut être considéré comme un cas particulier de prisme droit dont la base est un cercle. La formule du volume reste la même : $V = A_b × h = (\pi × \text{rayon}^2) × h$.
Quelles sont les unités de mesure pour le volume ?
Les unités de mesure pour le volume sont des unités cubiques, comme le $\text{cm}^3$ (centimètre cube), le $\text{m}^3$ (mètre cube), le $\text{mm}^3$ (millimètre cube), etc. Il est important d'utiliser des unités cohérentes pour l'aire de la base et la hauteur.
Comment convertir les unités de volume ?
Pour convertir les unités de volume, il faut se rappeler que $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3 = 1 000 000 \text{ cm}^3$. Aussi, $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litre}$ et $1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}$.

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