Définition
Deux angles sont dits correspondants s'ils sont formés par deux droites parallèles coupées par une sécante, et s'ils sont situés :
- d'un même côté de la sécante,
- l'un à l'intérieur des droites parallèles, l'autre à l'extérieur.
Si les deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants sont de même mesure.
Réciproquement, si deux angles correspondants sont de même mesure, alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.
Voici une illustration :
Soient les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ coupées par la sécante $(s)$.
Les angles $\widehat{A_1}$ et $\widehat{B_1}$ sont correspondants.
Les angles $\widehat{A_2}$ et $\widehat{B_2}$ sont correspondants.
Les angles $\widehat{A_3}$ et $\widehat{B_3}$ sont correspondants.
Les angles $\widehat{A_4}$ et $\widehat{B_4}$ sont correspondants.
Si $(d_1) \parallel (d_2)$, alors $\widehat{A_1} = \widehat{B_1}$, $\widehat{A_2} = \widehat{B_2}$, $\widehat{A_3} = \widehat{B_3}$, $\widehat{A_4} = \widehat{B_4}$.
Méthode — Les angles correspondants
Identifier les droites et la sécante
Dans une figure donnée, repérer les deux droites qui sont potentiellement parallèles et la droite qui les coupe (la sécante).
Localiser les angles
Pour deux angles donnés, vérifier s'ils sont situés :
- d'un même côté de la sécante,
- l'un à l'intérieur des deux droites, l'autre à l'extérieur.
Appliquer la propriété
- Si les droites sont parallèles, alors les angles correspondants sont de même mesure.
- Si les angles correspondants sont de même mesure, alors les droites sont parallèles.
Exemple résolu
Considérons la figure ci-dessous où les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par la sécante $(s)$. On cherche à déterminer si les angles sont correspondants et quelle propriété s'applique.
Il est crucial de bien identifier la position des angles par rapport à la sécante et aux deux droites pour déterminer s'ils sont correspondants et appliquer la propriété adéquate.
⚠️ Confondre avec d'autres types d'angles
- Ne pas confondre les angles correspondants avec les angles alternes-internes, alternes-externes ou adjacents.
- Chaque type d'angle a une définition et des propriétés spécifiques.
- Un angle correspondant est toujours d'un même côté de la sécante, l'un intérieur et l'autre extérieur.
- Par exemple, les angles alternes-internes sont de part et d'autre de la sécante et tous deux intérieurs.
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Exercice type Brevet
Exercice
Sur la figure ci-dessous, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont coupées par la sécante $(EF)$.
1. Citer deux paires d'angles correspondants.
2. Sachant que la droite $(AB)$ est parallèle à la droite $(CD)$ et que l'angle $\widehat{AEG} = 110^\circ$, déterminer la mesure de l'angle $\widehat{CFH}$. Justifier la réponse.
3. On suppose maintenant que $\widehat{BGF} = 70^\circ$ et $\widehat{DFH} = 70^\circ$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ? Justifier.
Corrigé
1. Deux paires d'angles correspondants :
- $\widehat{AEG}$ et $\widehat{CFG}$
- $\widehat{BEG}$ et $\widehat{DFG}$
- $\widehat{AEF}$ et $\widehat{CFH}$
- $\widehat{BEF}$ et $\widehat{DFH}$
2. On sait que $(AB) \parallel (CD)$.
Les angles $\widehat{AEG}$ et $\widehat{CFG}$ sont des angles correspondants.
Puisque les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, les angles correspondants sont de même mesure.
Donc $\widehat{CFG} = \widehat{AEG} = 110^\circ$.
L'angle $\widehat{CFH}$ est l'angle opposé par le sommet à $\widehat{CFG}$.
Donc $\widehat{CFH} = \widehat{CFG} = 110^\circ$.
(Autre méthode : $\widehat{AEF}$ et $\widehat{CFH}$ sont correspondants. $\widehat{AEF}$ et $\widehat{AEG}$ sont supplémentaires car ils forment un angle plat. Donc $\widehat{AEF} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Or $\widehat{AEF}$ et $\widehat{CFH}$ sont correspondants, donc $\widehat{CFH} = \widehat{AEF} = 70^\circ$. Il y a une erreur dans l'énoncé ou ma compréhension de l'image implicite. Si $\widehat{AEG}$ est l'angle extérieur en haut à gauche, alors $\widehat{CFH}$ est l'angle extérieur en bas à droite, qui est correspondant à $\widehat{AEF}$ (angle intérieur en haut à droite). Reprenons avec une interprétation standard.)
Reprenons la question 2 avec une interprétation plus claire :
2. On sait que $(AB) \parallel (CD)$ et $\widehat{AEG} = 110^\circ$.
Les angles $\widehat{AEG}$ et $\widehat{CFG}$ sont correspondants. Puisque $(AB) \parallel (CD)$, alors $\widehat{CFG} = \widehat{AEG} = 110^\circ$.
Les angles $\widehat{CFG}$ et $\widehat{CFH}$ sont supplémentaires (ils forment un angle plat).
Donc $\widehat{CFH} = 180^\circ - \widehat{CFG} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
3. On a $\widehat{BGF} = 70^\circ$ et $\widehat{DFH} = 70^\circ$.
Les angles $\widehat{BGF}$ et $\widehat{DFH}$ sont des angles correspondants.
Puisque ces deux angles correspondants ont la même mesure ($70^\circ$), alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Questions fréquentes
Comment reconnaître rapidement des angles correspondants sur une figure ?
Est-ce que les angles correspondants sont toujours égaux ?
Quelle est la différence entre angles correspondants et alternes-internes ?
Peut-on utiliser les angles correspondants pour prouver que des droites sont parallèles ?
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