Géométrie dans l'Espace · Fiche N°71 / 104

Reconnaître et décrire une pyramide

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

Une pyramide est un solide géométrique composé :

  • D'une base polygonale (triangle, quadrilatère, pentagone, etc.).
  • De faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un point commun appelé le sommet de la pyramide.

La hauteur d'une pyramide est la distance entre le sommet et le plan de la base, mesurée perpendiculairement à ce plan. Si la hauteur "tombe" au centre de la base, la pyramide est dite droite. Sinon, elle est oblique.

Le volume d'une pyramide est donné par la formule : $$V = \frac{1}{3} × A_{base} × h$$ où $A_{base}$ est l'aire de la base et $h$ est la hauteur de la pyramide.

Pyramide
💡 Bon réflexe : Toujours identifier la nature de la base en premier pour nommer et décrire correctement une pyramide.

Méthode — Reconnaître et décrire une pyramide

1

Identifier les éléments clés

Pour reconnaître et décrire une pyramide, commencez par identifier :

  • Le sommet : le point où toutes les faces latérales se rejoignent.
  • La base : le polygone qui forme la "fondation" de la pyramide.
  • Les faces latérales : les triangles qui relient la base au sommet.
  • Les arêtes : les segments qui forment les côtés de la base et les côtés des faces latérales.
  • Les sommets (au sens général) : les points d'intersection des arêtes.

2

Décrire la base

Précisez la nature du polygone de base. Est-ce un triangle, un carré, un rectangle, un pentagone, un hexagone ? Cela déterminera le nom de la pyramide (ex: pyramide à base carrée, pyramide triangulaire).

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Compter les éléments

Une fois la base identifiée, vous pouvez facilement compter le nombre de faces, d'arêtes et de sommets :

  • Si la base est un $n$-gone (polygone à $n$ côtés) :
  • Nombre de faces : $n$ (faces latérales) $+ 1$ (base) $= n+1$ faces.
  • Nombre d'arêtes : $n$ (arêtes de la base) $+ n$ (arêtes latérales) $= 2n$ arêtes.
  • Nombre de sommets : $n$ (sommets de la base) $+ 1$ (sommet principal) $= n+1$ sommets.

4

Préciser le type de pyramide

Indiquez si la pyramide est droite (la hauteur "tombe" au centre de la base) ou oblique. Si la base est un polygone régulier et que la pyramide est droite, on parle de pyramide régulière.

Exemple résolu

Considérons le solide suivant pour déterminer s'il s'agit d'une pyramide et la décrire.

1
Le solide a une base carrée et quatre faces triangulaires qui se rejoignent en un point.
Il s'agit d'une pyramide. La base est un quadrilatère (carré) et les faces latérales sont des triangles qui convergent vers un sommet unique.
2
Le solide a deux bases triangulaires parallèles et trois faces latérales rectangulaires.
✗ NonCe solide est un prisme à base triangulaire, pas une pyramide. Une pyramide n'a qu'une seule base et ses faces latérales sont triangulaires.
3
Le solide a une base pentagonale et cinq faces latérales triangulaires qui se rencontrent en un point.
C'est une pyramide à base pentagonale. Elle respecte toutes les caractéristiques d'une pyramide.

Le premier et le troisième solide sont des pyramides. Le premier est une pyramide à base carrée. Le troisième est une pyramide à base pentagonale.

⚠️ Confondre pyramide et prisme

  1. Confondre une pyramide avec un prisme.
  2. Rappelez-vous qu'une pyramide a une seule base et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un sommet.
  3. Un prisme a deux bases parallèles et identiques, et ses faces latérales sont des rectangles ou des parallélogrammes.

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Exercice type Brevet

1. Décrivez une pyramide à base triangulaire (tétraèdre). Donnez le nombre de faces, d'arêtes et de sommets.
2. Une pyramide a 8 faces. Quelle est la nature de sa base ?
3. Calculez le volume d'une pyramide dont la base est un carré de côté $5 \text{ cm}$ et dont la hauteur est de $9 \text{ cm}$.
1. Une pyramide à base triangulaire est aussi appelée un tétraèdre. Elle possède :
  • Base : un triangle.
  • Faces : $3$ (latérales) $+ 1$ (base) $= 4$ faces.
  • Arêtes : $3$ (de la base) $+ 3$ (latérales) $= 6$ arêtes.
  • Sommets : $3$ (de la base) $+ 1$ (principal) $= 4$ sommets.
2. Si une pyramide a $8$ faces, et que le nombre de faces est $n+1$ (où $n$ est le nombre de côtés de la base), alors $n+1 = 8$, donc $n=7$. La base est un heptagone (polygone à 7 côtés).
3. Pour calculer le volume :
  • Aire de la base ($A_{base}$) : C'est un carré de côté $5 \text{ cm}$, donc $A_{base} = 5 \text{ cm} × 5 \text{ cm} = 25 \text{ cm}^2$.
  • Hauteur ($h$) : $9 \text{ cm}$.
  • Volume ($V$) : $$V = \frac{1}{3} × A_{base} × h = \frac{1}{3} × 25 \text{ cm}^2 × 9 \text{ cm}$$ $$V = \frac{1}{3} × 225 \text{ cm}^3 = 75 \text{ cm}^3$$ Le volume de la pyramide est $75 \text{ cm}^3$.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une pyramide régulière ?
Une pyramide régulière est une pyramide droite dont la base est un polygone régulier (par exemple, un carré, un triangle équilatéral, un pentagone régulier). Dans ce cas, toutes les faces latérales sont des triangles isocèles identiques.
Peut-on avoir une pyramide dont la base n'est pas un polygone ?
Non, par définition, la base d'une pyramide est toujours un polygone. Si la base est un cercle, on parle alors d'un cône.
Comment calculer l'aire latérale d'une pyramide ?
L'aire latérale d'une pyramide est la somme des aires de toutes ses faces triangulaires latérales. Si la pyramide est régulière, toutes les faces latérales sont identiques, et il suffit de calculer l'aire d'une face latérale et de la multiplier par le nombre de côtés de la base.
Qu'est-ce qu'un tétraèdre ?
Un tétraèdre est une pyramide dont la base est un triangle. C'est le polyèdre le plus simple, composé de 4 faces triangulaires (la base et les trois faces latérales), 6 arêtes et 4 sommets.

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