Définition
Une pyramide est un solide géométrique composé :
- D'une base polygonale (triangle, quadrilatère, pentagone, etc.).
- De faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un point commun appelé le sommet de la pyramide.
La hauteur d'une pyramide est la distance entre le sommet et le plan de la base, mesurée perpendiculairement à ce plan. Si la hauteur "tombe" au centre de la base, la pyramide est dite droite. Sinon, elle est oblique.
Le volume d'une pyramide est donné par la formule : $$V = \frac{1}{3} × A_{base} × h$$ où $A_{base}$ est l'aire de la base et $h$ est la hauteur de la pyramide.
Méthode — Reconnaître et décrire une pyramide
Identifier les éléments clés
Pour reconnaître et décrire une pyramide, commencez par identifier :
- Le sommet : le point où toutes les faces latérales se rejoignent.
- La base : le polygone qui forme la "fondation" de la pyramide.
- Les faces latérales : les triangles qui relient la base au sommet.
- Les arêtes : les segments qui forment les côtés de la base et les côtés des faces latérales.
- Les sommets (au sens général) : les points d'intersection des arêtes.
Décrire la base
Précisez la nature du polygone de base. Est-ce un triangle, un carré, un rectangle, un pentagone, un hexagone ? Cela déterminera le nom de la pyramide (ex: pyramide à base carrée, pyramide triangulaire).
Compter les éléments
Une fois la base identifiée, vous pouvez facilement compter le nombre de faces, d'arêtes et de sommets :
- Si la base est un $n$-gone (polygone à $n$ côtés) :
- Nombre de faces : $n$ (faces latérales) $+ 1$ (base) $= n+1$ faces.
- Nombre d'arêtes : $n$ (arêtes de la base) $+ n$ (arêtes latérales) $= 2n$ arêtes.
- Nombre de sommets : $n$ (sommets de la base) $+ 1$ (sommet principal) $= n+1$ sommets.
Préciser le type de pyramide
Indiquez si la pyramide est droite (la hauteur "tombe" au centre de la base) ou oblique. Si la base est un polygone régulier et que la pyramide est droite, on parle de pyramide régulière.
Exemple résolu
Considérons le solide suivant pour déterminer s'il s'agit d'une pyramide et la décrire.
Le premier et le troisième solide sont des pyramides. Le premier est une pyramide à base carrée. Le troisième est une pyramide à base pentagonale.
⚠️ Confondre pyramide et prisme
- Confondre une pyramide avec un prisme.
- Rappelez-vous qu'une pyramide a une seule base et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un sommet.
- Un prisme a deux bases parallèles et identiques, et ses faces latérales sont des rectangles ou des parallélogrammes.
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Exercice type Brevet
1. Décrivez une pyramide à base triangulaire (tétraèdre). Donnez le nombre de faces, d'arêtes et de sommets.2. Une pyramide a 8 faces. Quelle est la nature de sa base ?
3. Calculez le volume d'une pyramide dont la base est un carré de côté $5 \text{ cm}$ et dont la hauteur est de $9 \text{ cm}$.
- Base : un triangle.
- Faces : $3$ (latérales) $+ 1$ (base) $= 4$ faces.
- Arêtes : $3$ (de la base) $+ 3$ (latérales) $= 6$ arêtes.
- Sommets : $3$ (de la base) $+ 1$ (principal) $= 4$ sommets.
3. Pour calculer le volume :
- Aire de la base ($A_{base}$) : C'est un carré de côté $5 \text{ cm}$, donc $A_{base} = 5 \text{ cm} × 5 \text{ cm} = 25 \text{ cm}^2$.
- Hauteur ($h$) : $9 \text{ cm}$.
- Volume ($V$) : $$V = \frac{1}{3} × A_{base} × h = \frac{1}{3} × 25 \text{ cm}^2 × 9 \text{ cm}$$ $$V = \frac{1}{3} × 225 \text{ cm}^3 = 75 \text{ cm}^3$$ Le volume de la pyramide est $75 \text{ cm}^3$.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une pyramide régulière ?
Peut-on avoir une pyramide dont la base n'est pas un polygone ?
Comment calculer l'aire latérale d'une pyramide ?
Qu'est-ce qu'un tétraèdre ?
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