Calculer le volume d'un cylindre – Fiche Brevet Maths

Définition

Le volume d'un cylindre est la mesure de l'espace qu'il occupe. C'est un solide composé de deux bases circulaires parallèles et d'une surface latérale courbe. Pour le calculer, on utilise la formule : $$V = \pi × r^2 × h$$ où $V$ est le volume, $r$ est le rayon de la base circulaire et $h$ est la hauteur du cylindre. Le rayon $r$ est la distance du centre du cercle à n'importe quel point de sa circonférence. La hauteur $h$ est la distance perpendiculaire entre les deux bases circulaires.

Cylindre de révolution

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier les unités de mesure et s'assurer que le rayon est utilisé, et non le diamètre.

Méthode — Calculer le volume d'un cylindre

Identifier le rayon et la hauteur

Avant tout calcul, il est essentiel d'identifier les valeurs du rayon ($r$) et de la hauteur ($h$) du cylindre. Le rayon est la moitié du diamètre de la base. Assurez-vous que le rayon et la hauteur sont exprimés dans la même unité de mesure (par exemple, en cm, m, etc.). Si le diamètre est donné, divisez-le par $2$ pour obtenir le rayon.

Appliquer la formule du volume

Une fois que vous avez les valeurs de $r$ et $h$, substituez-les dans la formule du volume du cylindre : $V = \pi × r^2 × h$. Commencez par calculer $r^2$ (le rayon multiplié par lui-même). Ensuite, multipliez ce résultat par $\pi$ et enfin par la hauteur $h$. Utilisez la valeur de $\pi$ fournie dans l'énoncé (souvent $3,14$ ou la touche $\pi$ de votre calculatrice pour plus de précision).

Exprimer le résultat avec l'unité appropriée

Le volume est toujours exprimé en unités cubiques. Si le rayon et la hauteur sont en centimètres (cm), le volume sera en centimètres cubes (cm$^3$). Si les mesures sont en mètres (m), le volume sera en mètres cubes (m$^3$). N'oubliez pas d'arrondir votre résultat si nécessaire, en respectant les consignes de l'énoncé.

Exemple résolu

Calculons le volume d'un cylindre dont le rayon de la base est de $3$ cm et la hauteur est de $10$ cm. Nous utiliserons $\pi \approx 3,14$.

Rayon $r = 3$ cm, Hauteur $h = 10$ cm

1. Identifier les valeurs : $r = 3$ cm et $h = 10$ cm.
2. Appliquer la formule : $V = \pi × r^2 × h = 3,14 × (3)^2 × 10$
$V = 3,14 × 9 × 10$
$V = 28,26 × 10$
$V = 282,6$ cm$^3$.
3. Le volume du cylindre est de $282,6$ cm$^3$.

Diamètre $D = 8$ m, Hauteur $h = 5$ m

1. Identifier les valeurs : Le diamètre est $D = 8$ m, donc le rayon $r = D/2 = 8/2 = 4$ m. La hauteur $h = 5$ m.
2. Appliquer la formule : $V = \pi × r^2 × h = \pi × (4)^2 × 5$
$V = \pi × 16 × 5$
$V = 80\pi$ m$^3$.
Si on utilise $\pi \approx 3,14$, alors $V \approx 80 × 3,14 = 251,2$ m$^3$.
3. Le volume du cylindre est de $80\pi$ m$^3$ (ou environ $251,2$ m$^3$).

Ces exemples montrent comment appliquer la formule du volume d'un cylindre en s'assurant d'utiliser les bonnes valeurs pour le rayon et la hauteur, et en respectant les unités de mesure.

⚠️ Confondre diamètre et rayon

Utiliser le diamètre ($D$) directement dans la formule au lieu du rayon ($r$).
Rappelez-vous que le rayon est la moitié du diamètre ($r = D/2$).
Si vous utilisez le diamètre à la place du rayon, votre résultat sera incorrect.
Par exemple, si le diamètre est $6$ cm, le rayon est $3$ cm.
Utiliser $6^2$ au lieu de $3^2$ fausserait complètement le calcul.

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Exercice type Brevet

Un réservoir d'eau a la forme d'un cylindre. Son diamètre est de $2$ mètres et sa hauteur est de $3,5$ mètres.
1. Quel est le rayon de la base de ce réservoir ?
2. Calculez le volume de ce réservoir en m$^3$. Donnez la valeur exacte en fonction de $\pi$, puis une valeur arrondie au centième près (utilisez $\pi \approx 3,14159$).
3. Sachant que $1$ m$^3$ équivaut à $1000$ litres, quelle est la capacité du réservoir en litres ?

1. Le diamètre est de $2$ mètres. Le rayon est la moitié du diamètre, donc $r = 2 / 2 = 1$ mètre.
2. La formule du volume d'un cylindre est $V = \pi × r^2 × h$.
Avec $r = 1$ m et $h = 3,5$ m :
$V = \pi × (1)^2 × 3,5$
$V = \pi × 1 × 3,5$
$V = 3,5\pi$ m$^3$. (Valeur exacte)
Pour la valeur arrondie : $V \approx 3,5 × 3,14159 \approx 10,995565$ m$^3$.
Arrondi au centième près : $V \approx 11,00$ m$^3$.
3. La capacité du réservoir en litres :
Puisque $1$ m$^3 = 1000$ litres, et que le volume exact est $3,5\pi$ m$^3$ :
Capacité en litres $= 3,5\pi × 1000 = 3500\pi$ litres.
En utilisant la valeur arrondie : Capacité en litres $\approx 11,00 × 1000 = 11000$ litres.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le volume et l'aire ?

L'aire est une mesure de la surface d'une figure en deux dimensions (par exemple, l'aire d'un cercle ou l'aire latérale d'un cylindre), exprimée en unités carrées (cm$^2$, m$^2$). Le volume est une mesure de l'espace occupé par un solide en trois dimensions, exprimé en unités cubiques (cm$^3$, m$^3$).

Comment calculer le volume si on me donne la circonférence de la base ?

Si la circonférence $C$ est donnée, vous pouvez trouver le rayon $r$ en utilisant la formule de la circonférence : $C = 2\pi r$. Donc, $r = C / (2\pi)$. Une fois que vous avez le rayon, vous pouvez calculer le volume avec la formule habituelle $V = \pi × r^2 × h$.

Que signifie $\pi$ dans la formule ?

$\pi$ (pi) est une constante mathématique qui représente le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Sa valeur est approximativement $3,14159$. C'est un nombre irrationnel, ce qui signifie que sa représentation décimale est infinie et non répétitive. Dans les calculs, on utilise souvent une approximation comme $3,14$ ou la touche $\pi$ de la calculatrice pour plus de précision.

Le volume d'un cylindre peut-il être négatif ?

Non, le volume d'un objet physique ne peut jamais être négatif. Le rayon et la hauteur sont des longueurs, donc ils sont toujours positifs. Par conséquent, leur produit sera toujours positif.

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