Géométrie dans l'Espace · Fiche N°78 / 104

Section d'un cône par un plan parallèle

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

La section d'un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est un cercle. Ce nouveau cercle est une réduction de la base du cône.
Soit un cône de hauteur $H$ et de rayon de base $R$. Si on le coupe par un plan parallèle à sa base à une hauteur $h'$ du sommet, la section obtenue est un cercle de rayon $r'$.
Les dimensions du petit cône (formé par la section) sont proportionnelles à celles du grand cône. Le coefficient de réduction $k$ est donné par : $$k = \frac{h'}{H} = \frac{r'}{R}$$

Section d'un cone par un plan parallele
💡 Bon réflexe : Toujours vérifier si la hauteur donnée est depuis le sommet ou depuis la base pour calculer $h'$.

Méthode — Section d'un cône par un plan parallèle

1

Identifier les grandeurs connues

Déterminez la hauteur du grand cône ($H$), le rayon de sa base ($R$), et la hauteur à laquelle la section est faite par rapport au sommet ($h'$).

2

Calculer le coefficient de réduction

Le coefficient de réduction $k$ est le rapport de la hauteur du petit cône à celle du grand cône : $k = \frac{h'}{H}$.

3

Calculer les dimensions de la section

Le rayon de la section ($r'$) est obtenu en multipliant le rayon de la base du grand cône par le coefficient de réduction : $r' = k × R$.
L'aire de la section est $A' = \pi × (r')^2$.
Le volume du petit cône est $V' = k^3 × V_{grand}$, où $V_{grand}$ est le volume du cône initial.

Exemple résolu

Un cône de révolution a une hauteur $H = 12 \text{ cm}$ et un rayon de base $R = 9 \text{ cm}$. On le coupe par un plan parallèle à sa base à $4 \text{ cm}$ du sommet. Déterminons le rayon de la section et l'aire de cette section.

1
Hauteur du grand cône $H = 12 \text{ cm}$
Donnée de l'énoncé.
2
Rayon de la base du grand cône $R = 9 \text{ cm}$
Donnée de l'énoncé.
3
Hauteur de la section depuis le sommet $h' = 4 \text{ cm}$
Donnée de l'énoncé.
4
Calcul du coefficient de réduction $k = \frac{h'}{H}$
$k = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
5
Calcul du rayon de la section $r' = k × R$
$r' = \frac{1}{3} × 9 = 3 \text{ cm}$.
6
Calcul de l'aire de la section $A' = \pi × (r')^2$
$A' = \pi × (3)^2 = 9\pi \text{ cm}^2$.

Le rayon de la section est $3 \text{ cm}$ et son aire est $9\pi \text{ cm}^2$.

⚠️ Confondre hauteur depuis le sommet et hauteur depuis la base

  1. Le coefficient de réduction $k$ est toujours le rapport de la hauteur du petit cône (mesurée depuis le sommet) à la hauteur du grand cône.
  2. Si la hauteur de la section est donnée depuis la base, il faut la soustraire de la hauteur totale pour obtenir $h'$.
  3. Par exemple, si la section est faite à $2 \text{ cm}$ de la base d'un cône de $10 \text{ cm}$ de haut, alors $h' = 10 - 2 = 8 \text{ cm}$.

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Exercice type Brevet

Un cône de révolution a une hauteur de $15 \text{ cm}$ et le rayon de sa base est de $10 \text{ cm}$.
  1. Calculez le volume de ce cône (arrondi au $\text{cm}^3$ près).
  2. On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base, à $6 \text{ cm}$ du sommet. Déterminez le coefficient de réduction.
  3. Calculez le rayon de la section obtenue.
  4. Calculez l'aire de cette section (valeur exacte).
  5. Calculez le volume du petit cône formé par cette section (arrondi au $\text{cm}^3$ près).
  1. Le volume d'un cône est $V = \frac{1}{3} × \pi × R^2 × H$.
    $V = \frac{1}{3} × \pi × (10)^2 × 15 = \frac{1}{3} × \pi × 100 × 15 = 500\pi \text{ cm}^3$.
    En arrondissant au $\text{cm}^3$ près : $V \approx 1571 \text{ cm}^3$.
  2. La hauteur du grand cône est $H = 15 \text{ cm}$. La hauteur du petit cône est $h' = 6 \text{ cm}$.
    Le coefficient de réduction est $k = \frac{h'}{H} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$.
  3. Le rayon de la base du grand cône est $R = 10 \text{ cm}$.
    Le rayon de la section est $r' = k × R = \frac{2}{5} × 10 = 4 \text{ cm}$.
  4. L'aire de la section est $A' = \pi × (r')^2 = \pi × (4)^2 = 16\pi \text{ cm}^2$.
  5. Le volume du petit cône est $V' = k^3 × V$.
    $V' = (\frac{2}{5})^3 × 500\pi = \frac{8}{125} × 500\pi = 8 × 4\pi = 32\pi \text{ cm}^3$.
    En arrondissant au $\text{cm}^3$ près : $V' \approx 101 \text{ cm}^3$.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un cône de révolution ?
Un cône de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un de ses côtés formant l'angle droit. Sa base est un cercle.
Pourquoi la section est-elle un cercle ?
Parce que le plan de coupe est parallèle à la base circulaire du cône. Toutes les génératrices du cône sont coupées de manière proportionnelle, ce qui maintient la forme circulaire.
Comment le coefficient de réduction affecte-t-il les aires et les volumes ?
Si le coefficient de réduction linéaire est $k$, alors les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes sont multipliés par $k^3$. C'est une propriété générale des réductions/agrandissements en géométrie.
Est-ce que cette règle s'applique à d'autres solides ?
Oui, le principe de réduction par un plan parallèle s'applique de manière similaire aux pyramides. La section d'une pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de la base.

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