Les angles alternes-internes – Fiche Brevet Maths

Q: Est-ce que les angles alternes-internes sont toujours égaux ?

Non, ils sont égaux seulement si les deux droites coupées par la sécante sont parallèles. C'est une propriété très importante à retenir.

Définition

Deux angles sont dits alternes-internes s'ils vérifient les trois conditions suivantes :
1. Ils sont situés entre les deux droites coupées par une sécante.
2. Ils sont de part et d'autre de la sécante (alternes).
3. Ils n'ont pas le même sommet.

Propriété fondamentale : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes qu'elles forment sont de même mesure. Réciproquement, si deux angles alternes-internes formés par deux droites et une sécante sont de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

Angles alternes-internes (egaux si d₁ // d₂)

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier les trois conditions : internes, alternes, sommets différents. Puis, si les droites sont parallèles, les angles sont égaux, et réciproquement.

Méthode — Les angles alternes-internes

Identifier les droites et la sécante

Repérer les deux droites ($d_1$) et ($d_2$) ainsi que la droite sécante ($s$) qui les coupe. Ces trois droites sont essentielles pour définir les angles.

Localiser la zone 'interne'

Délimiter la région située entre les deux droites ($d_1$) et ($d_2$). C'est dans cette zone que se trouvent les angles 'internes'.

Vérifier la position par rapport à la sécante ('alternes')

Pour que deux angles soient alternes-internes, ils doivent être de chaque côté de la sécante ($s$). Si l'un est à gauche, l'autre doit être à droite.

Vérifier les sommets

Les deux angles doivent avoir des sommets différents. Un angle alterne-interne est formé par l'intersection de la sécante avec une droite, et l'autre par l'intersection de la sécante avec l'autre droite.

Appliquer la propriété

Si les droites ($d_1$) et ($d_2$) sont parallèles, alors les angles alternes-internes sont de même mesure. Si les angles alternes-internes sont de même mesure, alors les droites ($d_1$) et ($d_2$) sont parallèles.

Exemple résolu

Considérons deux droites ($d_1$) et ($d_2$) coupées par une sécante ($s$). Nous allons identifier si des paires d'angles sont alternes-internes.

Angle $\widehat{AEF}$ et angle $\widehat{EFD}$ (où $A$ est sur $d_1$, $E$ est l'intersection de $d_1$ et $s$, $F$ est l'intersection de $d_2$ et $s$, $D$ est sur $d_2$)

Ils sont entre les droites ($d_1$) et ($d_2$), de part et d'autre de la sécante ($s$), et ont des sommets différents ($E$ et $F$). Si ($d_1$) // ($d_2$), alors $\widehat{AEF} = \widehat{EFD}$.

Angle $\widehat{AEF}$ et angle $\widehat{CFE}$ (où $A$ est sur $d_1$, $E$ est l'intersection de $d_1$ et $s$, $F$ est l'intersection de $d_2$ et $s$, $C$ est sur $d_2$)

✗ NonIls sont tous les deux du même côté de la sécante ($s$). Ils sont consécutifs-internes.

Angle $\widehat{AEF}$ et angle $\widehat{BEG}$ (où $A, B$ sont sur $d_1$, $E$ est l'intersection de $d_1$ et $s$, $G$ est un point sur $s$)

✗ NonIls ont le même sommet ($E$) et sont opposés par le sommet. Ils ne sont pas alternes-internes.

Angle $\widehat{AEF}$ et angle $\widehat{CFH}$ (où $A$ est sur $d_1$, $E$ est l'intersection de $d_1$ et $s$, $C$ est sur $d_2$, $F$ est l'intersection de $d_2$ et $s$, $H$ est sur $s$)

✗ NonL'angle $\widehat{CFH}$ n'est pas 'interne' aux droites ($d_1$) et ($d_2$). Il est 'externe'.

Il est crucial de bien vérifier les trois conditions (internes, alternes, sommets différents) pour identifier correctement les angles alternes-internes.

⚠️ Confondre avec d'autres types d'angles

Le piège le plus courant est de confondre les angles alternes-internes avec les angles correspondants, les angles consécutifs-internes ou les angles opposés par le sommet.
Angles correspondants : Un interne, un externe, du même côté de la sécante.
Angles consécutifs-internes : Tous deux internes, du même côté de la sécante. Leur somme vaut $180°$ si les droites sont parallèles.
Angles opposés par le sommet : Même sommet, côtés dans le prolongement l'un de l'autre. Ils sont toujours de même mesure.

Pack Brevet Maths

Reçois 3 fiches gratuites pour préparer le Brevet

Les 3 fiches les plus importantes du programme de 3ème, en PDF prêt à imprimer. Offertes par Adil.

Pas de spam. Désinscription en un clic.

Exercice type Brevet

Soient deux droites ($d_1$) et ($d_2$) coupées par une sécante ($s$) aux points $A$ et $B$ respectivement. On donne les points $C$ sur ($d_1$) tel que $C, A, B$ forment un angle, et $D$ sur ($d_2$) tel que $A, B, D$ forment un angle.

1. Dessinez la figure.

2. Identifiez une paire d'angles alternes-internes.

3. Si l'angle $\widehat{CAB} = 65°$ et que les droites ($d_1$) et ($d_2$) sont parallèles, quelle est la mesure de l'angle alterne-interne à $\widehat{CAB}$ ? Justifiez.

4. Si l'angle $\widehat{CAB} = 70°$ et l'angle $\widehat{ABD} = 70°$, que peut-on dire des droites ($d_1$) et ($d_2$) ? Justifiez.

1. Le dessin doit montrer deux droites ($d_1$) et ($d_2$), une sécante ($s$) les coupant en $A$ et $B$. $C$ est un point sur ($d_1$) et $D$ est un point sur ($d_2$) de sorte que $\widehat{CAB}$ et $\widehat{ABD}$ sont des angles.

2. Une paire d'angles alternes-internes est $\widehat{CAB}$ et $\widehat{ABD}$. (Ou $\widehat{EAB}$ et $\widehat{ABF}$ si $E$ est sur $d_1$ de l'autre côté de $A$ et $F$ est sur $d_2$ de l'autre côté de $B$)

3. L'angle alterne-interne à $\widehat{CAB}$ est $\widehat{ABD}$. Puisque les droites ($d_1$) et ($d_2$) sont parallèles, les angles alternes-internes sont de même mesure. Donc $\widehat{ABD} = \widehat{CAB} = 65°$.

4. Les angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{ABD}$ sont alternes-internes. Puisque $\widehat{CAB} = 70°$ et $\widehat{ABD} = 70°$, ils sont de même mesure. D'après la propriété réciproque des angles alternes-internes, si deux angles alternes-internes sont de même mesure, alors les droites qui les forment sont parallèles. Donc ($d_1$) // ($d_2$).

Questions fréquentes

Comment savoir si des angles sont 'internes' ?

Les angles 'internes' sont ceux qui se trouvent dans la bande formée par les deux droites parallèles (ou non) coupées par la sécante. Ils sont 'entre' les deux droites.

Quelle est la différence entre alternes-internes et alternes-externes ?

Les alternes-internes sont entre les deux droites et de part et d'autre de la sécante. Les alternes-externes sont à l'extérieur des deux droites et de part et d'autre de la sécante. La propriété de l'égalité des mesures s'applique aux deux paires si les droites sont parallèles.

Est-ce que les angles alternes-internes sont toujours égaux ?

Non, ils sont égaux seulement si les deux droites coupées par la sécante sont parallèles. C'est une propriété très importante à retenir.

Peut-on utiliser les angles alternes-internes pour prouver que des droites sont parallèles ?

Oui, absolument ! C'est la propriété réciproque : si vous démontrez que deux angles alternes-internes formés par deux droites et une sécante ont la même mesure, alors vous pouvez conclure que les deux droites sont parallèles.

Pour aller plus loin

Votre enfant bloque sur ce chapitre ?

Adil explique la méthode en 1 séance. Cours en ligne disponibles partout en France à 20€/h.

📞 Être rappelé gratuitement Avance Immédiate →