Les angles inscrits et les angles au centre – Fiche Brevet Maths

Définition

Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle et dont les côtés coupent le cercle en deux points. Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés coupent le cercle en deux autres points. Ces deux types d'angles interceptent un arc de cercle.

Propriétés fondamentales :

Si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc de cercle, alors la mesure de l'angle au centre est le double de la mesure de l'angle inscrit.
Si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, alors ils ont la même mesure.
Si un angle inscrit intercepte un demi-cercle (c'est-à-dire un arc de cercle délimité par un diamètre), alors cet angle est un angle droit ($90^\circ$).

Angle inscrit α = moitie de l'angle au centre 2α

💡 Bon réflexe : Toujours identifier le centre du cercle et les points sur le cercle pour bien distinguer les angles au centre des angles inscrits, et surtout, l'arc qu'ils interceptent.

Méthode — Les angles inscrits et les angles au centre

Identifier les angles et l'arc intercepté

Pour appliquer les propriétés, la première étape est d'identifier clairement les angles (au centre ou inscrits) et l'arc de cercle qu'ils interceptent. Un angle au centre est formé par deux rayons. Un angle inscrit est formé par deux cordes.

Appliquer la relation angle au centre / angle inscrit

Si vous avez un angle au centre $\widehat{AOB}$ et un angle inscrit $\widehat{ACB}$ qui interceptent le même arc $\overset{\frown}{AB}$, alors vous pouvez écrire la relation : $\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{ACB}$ ou $\widehat{ACB} = \frac{1}{2} \times \widehat{AOB}$.

Appliquer la relation entre angles inscrits

Si vous avez deux angles inscrits, par exemple $\widehat{ACB}$ et $\widehat{ADB}$, qui interceptent le même arc $\overset{\frown}{AB}$, alors leurs mesures sont égales : $\widehat{ACB} = \widehat{ADB}$.

Utiliser la propriété du demi-cercle

Si un angle inscrit $\widehat{ACB}$ intercepte un demi-cercle (c'est-à-dire que $[AB]$ est un diamètre), alors $\widehat{ACB} = 90^\circ$.

Exemple résolu

Soit un cercle de centre $O$. On considère trois points $A$, $B$, $C$ sur ce cercle. L'angle $\widehat{AOB}$ est un angle au centre, et l'angle $\widehat{ACB}$ est un angle inscrit. Ils interceptent tous les deux l'arc $\overset{\frown}{AB}$.

Si $\widehat{AOB} = 80^\circ$, quelle est la mesure de $\widehat{ACB}$ ?

✓ OuiL'angle au centre $\widehat{AOB}$ et l'angle inscrit $\widehat{ACB}$ interceptent le même arc $\overset{\frown}{AB}$. Donc, $\widehat{ACB} = \frac{1}{2} \times \widehat{AOB} = \frac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ$.

Si $\widehat{ACB} = 35^\circ$, quelle est la mesure de $\widehat{AOB}$ ?

✓ OuiL'angle au centre $\widehat{AOB}$ et l'angle inscrit $\widehat{ACB}$ interceptent le même arc $\overset{\frown}{AB}$. Donc, $\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{ACB} = 2 \times 35^\circ = 70^\circ$.

Si un autre angle inscrit $\widehat{ADB}$ intercepte le même arc $\overset{\frown}{AB}$ et que $\widehat{ACB} = 40^\circ$, quelle est la mesure de $\widehat{ADB}$ ?

✓ OuiDeux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure. Donc, $\widehat{ADB} = \widehat{ACB} = 40^\circ$.

Si $[AB]$ est un diamètre du cercle et que $C$ est un point sur le cercle, quelle est la mesure de $\widehat{ACB}$ ?

✓ OuiSi un angle inscrit intercepte un demi-cercle (ici, l'arc $\overset{\frown}{AB}$ délimité par le diamètre $[AB]$), alors cet angle est droit. Donc, $\widehat{ACB} = 90^\circ$.

Ces exemples illustrent l'application directe des propriétés des angles inscrits et au centre. Il est crucial de bien identifier l'arc intercepté par chaque angle.

⚠️ Confusion entre arc intercepté et arc non intercepté

Ne pas confondre l'arc intercepté par l'angle avec l'autre arc formé par les mêmes points.
Par exemple, l'angle au centre $\widehat{AOB}$ peut intercepter le petit arc $\overset{\frown}{AB}$ ou le grand arc $\overset{\frown}{AB}$ (l'angle rentrant).
Les propriétés s'appliquent à l'arc intercepté par l'angle saillant (celui dont la mesure est inférieure à $180^\circ$) et l'angle inscrit correspondant.
Si l'angle au centre est rentrant, l'angle inscrit interceptera le grand arc, et la relation reste la même, mais il faut faire attention aux mesures.

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Exercice type Brevet

Exercice sur les angles inscrits et au centre

Soit un cercle de centre $O$. Les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont sur ce cercle.

L'angle au centre $\widehat{AOB}$ mesure $110^\circ$. Quelle est la mesure de l'angle inscrit $\widehat{ACB}$ qui intercepte le même arc $\overset{\frown}{AB}$ ?
L'angle inscrit $\widehat{ADC}$ mesure $75^\circ$. Quelle est la mesure de l'angle au centre $\widehat{AOC}$ qui intercepte le même arc $\overset{\frown}{AC}$ ?
Les angles inscrits $\widehat{ADB}$ et $\widehat{ACB}$ interceptent le même arc $\overset{\frown}{AB}$. Si $\widehat{ADB} = 30^\circ$, quelle est la mesure de $\widehat{ACB}$ ?
Le segment $[BC]$ est un diamètre du cercle. $A$ est un point sur le cercle. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ ?

Corrigé de l'exercice

L'angle au centre $\widehat{AOB}$ et l'angle inscrit $\widehat{ACB}$ interceptent le même arc $\overset{\frown}{AB}$.
Donc, $\widehat{ACB} = \frac{1}{2} \times \widehat{AOB} = \frac{1}{2} \times 110^\circ = 55^\circ$.
L'angle au centre $\widehat{AOC}$ et l'angle inscrit $\widehat{ADC}$ interceptent le même arc $\overset{\frown}{AC}$.
Donc, $\widehat{AOC} = 2 \times \widehat{ADC} = 2 \times 75^\circ = 150^\circ$.
Les angles inscrits $\widehat{ADB}$ et $\widehat{ACB}$ interceptent le même arc $\overset{\frown}{AB}$.
Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure. Donc, $\widehat{ACB} = \widehat{ADB} = 30^\circ$.
Si $[BC]$ est un diamètre du cercle, alors l'angle inscrit $\widehat{BAC}$ intercepte un demi-cercle.
Un angle inscrit qui intercepte un demi-cercle est un angle droit. Donc, $\widehat{BAC} = 90^\circ$.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un arc de cercle intercepté ?

Un arc de cercle intercepté par un angle est la portion du cercle située entre les deux points où les côtés de l'angle coupent le cercle. C'est l'arc 'face' à l'angle.

Comment savoir si un angle est au centre ou inscrit ?

Un angle est au centre si son sommet est le centre du cercle. Un angle est inscrit si son sommet est sur le cercle.

Peut-on avoir un angle inscrit qui n'intercepte pas d'arc ?

Non, par définition, les côtés d'un angle inscrit coupent le cercle en deux points, créant ainsi un arc intercepté. Si les côtés sont tangents, ce n'est plus un angle inscrit au sens classique.

Ces propriétés sont-elles valables pour tous les cercles ?

Oui, ces propriétés sont des théorèmes de géométrie euclidienne et sont valables pour n'importe quel cercle.

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