Géométrie Plane · Fiche N°63 / 104

L'homothétie : effet sur les longueurs et les aires

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

Une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ (un nombre réel non nul) est une transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure.

  • Si $|k| > 1$, c'est un agrandissement.
  • Si $0 < |k| < 1$, c'est une réduction.
  • Si $k > 0$, la figure transformée est du même côté du centre $O$ que la figure originale.
  • Si $k < 0$, la figure transformée est de l'autre côté du centre $O$ par rapport à la figure originale.

Effet sur les longueurs : Si une figure est transformée par une homothétie de rapport $k$, alors toutes les longueurs de la figure transformée sont multipliées par $|k|$.
Si $L$ est une longueur de la figure initiale et $L'$ la longueur correspondante de la figure transformée, alors $L' = |k| × L$.

Effet sur les aires : Si une figure est transformée par une homothétie de rapport $k$, alors toutes les aires de la figure transformée sont multipliées par $k^2$.
Si $A$ est l'aire de la figure initiale et $A'$ l'aire correspondante de la figure transformée, alors $A' = k^2 × A$.

Homothétie de centre O et rapport k
💡 Bon réflexe : Toujours vérifier si on parle de longueurs (rapport $|k|$) ou d'aires (rapport $k^2$). Ne jamais oublier la valeur absolue pour les longueurs.

Méthode — L'homothétie : effet sur les longueurs et les aires

1

Identifier le rapport d'homothétie $k$

Le rapport $k$ est donné dans l'énoncé ou peut être calculé. Si $O$ est le centre de l'homothétie, $A$ un point de la figure initiale et $A'$ son image, alors $k = \frac{OA'}{OA}$ (en valeur absolue pour les longueurs) ou $k = \frac{\vec{OA'}}{\vec{OA}}$ (en vecteur pour le signe).

2

Calculer l'effet sur les longueurs

Pour trouver une longueur $L'$ dans la figure transformée à partir d'une longueur $L$ dans la figure initiale, utilise la formule : $L' = |k| × L$. N'oublie pas la valeur absolue du rapport.

3

Calculer l'effet sur les aires

Pour trouver une aire $A'$ dans la figure transformée à partir d'une aire $A$ dans la figure initiale, utilise la formule : $A' = k^2 × A$. Ici, c'est $k^2$, le signe du rapport n'a pas d'importance car $k^2 = (-k)^2$.

4

Calculer le rapport à partir des longueurs ou des aires

Si tu connais une longueur $L$ et son image $L'$, tu peux trouver $|k| = \frac{L'}{L}$. Si tu connais une aire $A$ et son image $A'$, tu peux trouver $k^2 = \frac{A'}{A}$, puis $|k| = \sqrt{\frac{A'}{A}}$.

Exemple résolu

Soit un triangle $ABC$ dont les côtés mesurent $AB = 3 \text{ cm}$, $BC = 4 \text{ cm}$ et $AC = 5 \text{ cm}$. Son aire est de $6 \text{ cm}^2$. On applique une homothétie de rapport $k = -2$ à ce triangle pour obtenir le triangle $A'B'C'$.

1
Calculer la longueur $A'B'$.
La longueur $A'B'$ est l'image de $AB$. On utilise $L' = |k| × L$. Donc $A'B' = |-2| × AB = 2 × 3 = 6 \text{ cm}$.
2
Calculer la longueur $B'C'$.
La longueur $B'C'$ est l'image de $BC$. Donc $B'C' = |-2| × BC = 2 × 4 = 8 \text{ cm}$.
3
Calculer la longueur $A'C'$.
La longueur $A'C'$ est l'image de $AC$. Donc $A'C' = |-2| × AC = 2 × 5 = 10 \text{ cm}$.
4
Calculer l'aire du triangle $A'B'C'$.
L'aire $A'$ du triangle $A'B'C'$ est l'image de l'aire $A$ du triangle $ABC$. On utilise $A' = k^2 × A$. Donc $A' = (-2)^2 × 6 = 4 × 6 = 24 \text{ cm}^2$.
5
Le triangle $A'B'C'$ est-il une réduction du triangle $ABC$ ?
✗ NonLe rapport d'homothétie est $k = -2$. Comme $|k| = 2 > 1$, il s'agit d'un agrandissement.

Cet exemple montre comment le rapport d'homothétie $k$ affecte les longueurs par $|k|$ et les aires par $k^2$. Le signe négatif de $k$ indique seulement que la figure est inversée par rapport au centre d'homothétie, mais n'affecte pas les mesures des longueurs et des aires.

⚠️ Confusion entre $|k|$ et $k^2$

  1. Le piège le plus courant est d'utiliser $k$ pour les aires ou $k^2$ pour les longueurs. Rappelle-toi :
  2. Longueurs : $L' = |k| × L$ (on prend la valeur absolue car une longueur est toujours positive).
  3. Aires : $A' = k^2 × A$ (on prend le carré car une aire est toujours positive et l'unité est au carré, par exemple $\text{cm}^2$).
  4. Un autre piège est d'oublier la valeur absolue pour les longueurs si $k$ est négatif. Par exemple, si $k = -0.5$, une longueur sera multipliée par $0.5$, pas par $-0.5$ (ce qui n'aurait pas de sens pour une longueur).

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Exercice type Brevet

Exercice sur l'homothétie

Soit un cercle $\mathcal{C}$ de rayon $R = 5 \text{ cm}$ et d'aire $A = 25\pi \text{ cm}^2$. On applique une homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 3$ à ce cercle pour obtenir le cercle $\mathcal{C}'$.

  1. Quel est le rayon $R'$ du cercle $\mathcal{C}'$ ?
  2. Quelle est l'aire $A'$ du cercle $\mathcal{C}'$ ?
  3. Si on avait appliqué une homothétie de rapport $k = -\frac{1}{2}$ au cercle $\mathcal{C}$, quel aurait été le rayon $R''$ et l'aire $A''$ du nouveau cercle $\mathcal{C}''$ ?

Corrigé de l'exercice

  1. Rayon $R'$ du cercle $\mathcal{C}'$ :
    Le rapport d'homothétie est $k = 3$. Pour les longueurs, on utilise $|k|$.
    $R' = |k| × R = |3| × 5 = 3 × 5 = 15 \text{ cm}$.
  2. Aire $A'$ du cercle $\mathcal{C}'$ :
    Pour les aires, on utilise $k^2$.
    $A' = k^2 × A = 3^2 × 25\pi = 9 × 25\pi = 225\pi \text{ cm}^2$.
  3. Rayon $R''$ et aire $A''$ avec $k = -\frac{1}{2}$ :
    Pour le rayon $R''$ : $R'' = |k| × R = |-\frac{1}{2}| × 5 = \frac{1}{2} × 5 = 2.5 \text{ cm}$.
    Pour l'aire $A''$ : $A'' = k^2 × A = (-\frac{1}{2})^2 × 25\pi = \frac{1}{4} × 25\pi = 6.25\pi \text{ cm}^2$.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un rapport d'homothétie négatif signifie ?
Un rapport d'homothétie négatif signifie que la figure transformée est située de l'autre côté du centre d'homothétie par rapport à la figure originale. C'est comme une symétrie centrale suivie d'un agrandissement/réduction.
Pourquoi utilise-t-on $k^2$ pour les aires et pas $k^3$ pour les volumes ?
C'est une excellente question ! Pour les aires, on multiplie deux dimensions (longueur × largeur), donc chaque dimension est multipliée par $|k|$, ce qui donne $|k| × |k| = k^2$. Pour les volumes, on multiplie trois dimensions (longueur × largeur × hauteur), donc chaque dimension est multipliée par $|k|$, ce qui donne $|k| × |k| × |k| = |k|^3$. Au collège, on se concentre sur les longueurs et les aires.
L'homothétie conserve-t-elle les angles ?
Oui, l'homothétie est une transformation qui conserve les mesures des angles. Un angle de $30°$ dans la figure originale restera un angle de $30°$ dans la figure transformée.
Comment savoir si c'est un agrandissement ou une réduction ?
C'est un agrandissement si $|k| > 1$. C'est une réduction si $0 < |k| < 1$. Si $|k| = 1$, la figure est inchangée (c'est l'identité ou une symétrie centrale si $k = -1$).

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