Géométrie Plane · Fiche N°57 / 104

La translation : définition et propriétés

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

La translation est une transformation géométrique qui déplace chaque point d'une figure d'une même distance et dans la même direction. Elle est définie par un vecteur.

Si on a un point $M$ et un vecteur $\vec{u}$, l'image $M'$ de $M$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ est telle que $\vec{MM'} = \vec{u}$.

En d'autres termes, la translation 'glisse' une figure sans la faire tourner, la retourner ou la déformer. C'est un déplacement.

Translation de vecteur u
💡 Bon réflexe : Pensez toujours au 'glissement' : la figure ne tourne pas, ne se déforme pas, elle est juste déplacée.

Méthode — La translation : définition et propriétés

1

Comprendre le vecteur de translation

Le vecteur de translation $\vec{u}$ indique la direction, le sens et la longueur du déplacement. Si $\vec{u} = \vec{AB}$, cela signifie que tous les points de la figure seront déplacés comme si on allait de $A$ vers $B$.

2

Construire l'image d'un point

Pour construire l'image $M'$ d'un point $M$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ :
1. Tracez une droite parallèle au vecteur $\vec{u}$ passant par $M$.
2. Reportez la longueur du vecteur $\vec{u}$ sur cette droite à partir de $M$, dans le même sens que $\vec{u}$.
3. Le point obtenu est $M'$. On a alors $\vec{MM'} = \vec{u}$.

3

Construire l'image d'une figure

Pour construire l'image d'une figure (segment, triangle, cercle, etc.) par une translation, il suffit de construire l'image de ses points caractéristiques (extrémités d'un segment, sommets d'un polygone, centre d'un cercle). La figure image sera de même nature et de mêmes dimensions que la figure originale.

Exemple résolu

Soit un triangle $ABC$ et un vecteur $\vec{u}$. Nous allons construire l'image $A'B'C'$ du triangle $ABC$ par la translation de vecteur $\vec{u}$.

1
La translation conserve-t-elle les longueurs ?
✓ OuiSi $M'$ et $N'$ sont les images de $M$ et $N$ par une translation, alors $MN = M'N'$. La translation est une isométrie.
2
La translation conserve-t-elle les angles ?
✓ OuiSi $\widehat{ABC}$ est un angle et $\widehat{A'B'C'}$ son image par translation, alors $\widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'}$. La translation est une isométrie.
3
La translation conserve-t-elle l'orientation ?
✓ OuiUne figure translatée garde la même orientation. Par exemple, si les sommets d'un triangle sont lus dans le sens horaire, leurs images le seront aussi.
4
La translation transforme-t-elle une droite en une droite parallèle ?
✓ OuiL'image d'une droite par translation est une droite qui lui est parallèle (ou la droite elle-même si le vecteur est parallèle à la droite).

Comme le montre le tableau, la translation est une transformation qui préserve de nombreuses propriétés géométriques des figures, ce qui la rend très utile en géométrie.

⚠️ Confondre translation et rotation ou symétrie

  1. La translation est un simple 'glissement'.
  2. Elle ne fait pas tourner la figure (comme la rotation) ni la retourner (comme la symétrie axiale) ni la projeter (comme la symétrie centrale).
  3. L'orientation de la figure ne change jamais.
  4. Assurez-vous que la figure image est exactement la même que l'originale, juste déplacée.

Pack Brevet Maths

Reçois 3 fiches gratuites pour préparer le Brevet

Les 3 fiches les plus importantes du programme de 3ème, en PDF prêt à imprimer. Offertes par Adil.

Pas de spam. Désinscription en un clic.

Exercice type Brevet

Exercice sur la translation

Soit un point $A(1; 2)$ et un vecteur $\vec{u}(-3; 1)$.

  1. Déterminez les coordonnées du point $A'$, image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{u}$.
  2. Soit un segment $BC$ avec $B(0; 0)$ et $C(2; -1)$. Déterminez les coordonnées des points $B'$ et $C'$, images respectives de $B$ et $C$ par la translation de vecteur $\vec{u}$.
  3. Que pouvez-vous dire de la longueur du segment $B'C'$ par rapport à celle de $BC$ ? Justifiez votre réponse.

Correction de l'exercice

  1. Pour trouver les coordonnées de $A'(x_{A'}; y_{A'})$, on ajoute les coordonnées du vecteur $\vec{u}$ à celles de $A$:
    $x_{A'} = x_A + x_{\vec{u}} = 1 + (-3) = -2$
    $y_{A'} = y_A + y_{\vec{u}} = 2 + 1 = 3$
    Donc, $A'(-2; 3)$.
  2. Pour $B'(x_{B'}; y_{B'})$ :
    $x_{B'} = x_B + x_{\vec{u}} = 0 + (-3) = -3$
    $y_{B'} = y_B + y_{\vec{u}} = 0 + 1 = 1$
    Donc, $B'(-3; 1)$.

    Pour $C'(x_{C'}; y_{C'})$ :
    $x_{C'} = x_C + x_{\vec{u}} = 2 + (-3) = -1$
    $y_{C'} = y_C + y_{\vec{u}} = -1 + 1 = 0$
    Donc, $C'(-1; 0)$.
  3. La longueur du segment $B'C'$ est égale à la longueur du segment $BC$. En effet, la translation est une isométrie, ce qui signifie qu'elle conserve les distances (les longueurs).
    Calculons $BC$: $BC = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.
    Calculons $B'C'$: $B'C' = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(-1+3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.
    On a bien $BC = B'C' = \sqrt{5}$.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un vecteur de translation ?
Un vecteur de translation est un segment orienté qui indique la direction, le sens et la distance du déplacement. Il est souvent noté $\vec{u}$ ou par deux points comme $\vec{AB}$.
La translation est-elle une isométrie ?
Oui, la translation est une isométrie. Cela signifie qu'elle conserve les longueurs, les angles et les aires des figures. La figure image est superposable à la figure originale.
Comment reconnaître une translation sur un graphique ?
Sur un graphique, une translation se manifeste par un 'glissement' de la figure sans aucune rotation, retournement ou changement de taille. Tous les points de la figure se déplacent de la même manière.
Peut-on composer plusieurs translations ?
Oui, la composition de deux translations de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est une translation de vecteur $\vec{u} + \vec{v}$. C'est une propriété importante des translations.

Pour aller plus loin

Votre enfant bloque sur ce chapitre ?

Adil explique la méthode en 1 séance. Cours en ligne disponibles partout en France à 20€/h.

📞 Être rappelé gratuitement Avance Immédiate →