Définition
Le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et la longueur de l'hypoténuse.
On le note $\cos(\text{angle})$.
Dans un triangle rectangle ABC, rectangle en B, pour l'angle $\widehat{BAC}$ :
$$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\text{côté adjacent à } \widehat{BAC}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AB}{AC}$$
La valeur du cosinus est toujours comprise entre $0$ et $1$ (car le côté adjacent est toujours plus petit que l'hypoténuse).
Méthode — Le cosinus : calculer un angle
Étape 1 : Identifier le triangle rectangle et l'angle recherché
Assurez-vous que vous travaillez bien dans un triangle rectangle. Identifiez l'angle aigu dont vous souhaitez calculer la mesure.
Étape 2 : Identifier le côté adjacent et l'hypoténuse
Pour l'angle choisi :
- Le côté adjacent est le côté qui touche l'angle et qui n'est pas l'hypoténuse.
- L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, c'est toujours le plus long côté du triangle rectangle.
Étape 3 : Appliquer la formule du cosinus
Écrivez la formule du cosinus pour l'angle : $\cos(\text{angle}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$. Remplacez les longueurs des côtés par leurs valeurs numériques.
Étape 4 : Utiliser la fonction arccos (ou $\cos^{-1}$) de la calculatrice
Pour trouver la mesure de l'angle à partir de son cosinus, utilisez la fonction inverse du cosinus, appelée arccosinus (souvent notée $\cos^{-1}$ sur les calculatrices).
Si $\cos(\text{angle}) = x$, alors $\text{angle} = \arccos(x)$ ou $\text{angle} = \cos^{-1}(x)$.
Assurez-vous que votre calculatrice est en mode 'degrés' (DEG) si vous voulez un résultat en degrés.
Exemple résolu
Soit un triangle ABC rectangle en B. On sait que $AB = 4$ cm et $AC = 8$ cm. Calculons la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.
Donc, l'angle $\widehat{BAC}$ mesure $60°$.
⚠️ Confondre côté adjacent et côté opposé
- Le piège le plus courant est de ne pas identifier correctement le côté adjacent à l'angle.
- Le côté adjacent est celui qui touche l'angle et qui n'est pas l'hypoténuse.
- Le côté opposé, comme son nom l'indique, est celui qui est en face de l'angle.
- Pour le cosinus, on utilise toujours le côté adjacent et l'hypoténuse.
- Si vous utilisez le côté opposé, vous calculerez le sinus !
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Exercice type Brevet
Dans un triangle DEF rectangle en E, on sait que $DE = 5$ cm et $DF = 10$ cm.1. Quel est le côté adjacent à l'angle $\widehat{EDF}$ ?
2. Quelle est l'hypoténuse du triangle DEF ?
3. Calculer la valeur de $\cos(\widehat{EDF})$.
4. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{EDF}$ (arrondir au degré près).
2. L'hypoténuse du triangle DEF est $DF$.
3. On applique la formule du cosinus :
$$\cos(\widehat{EDF}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{DE}{DF} = \frac{5}{10} = 0,5$$
4. Pour trouver l'angle, on utilise la fonction arccos :
$$\widehat{EDF} = \arccos(0,5) = 60°$$
L'angle $\widehat{EDF}$ mesure $60°$.
Questions fréquentes
Quand utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente ?
- Le cosinus utilise le côté adjacent et l'hypoténuse.
- Le sinus utilise le côté opposé et l'hypoténuse.
- La tangente utilise le côté opposé et le côté adjacent.
Ma calculatrice donne un résultat bizarre, que faire ?
Le cosinus peut-il être supérieur à 1 ?
Peut-on calculer le cosinus d'un angle obtus ?
Pour aller plus loin
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