Le cosinus : calculer un côté – Fiche Brevet Maths

Définition

Le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et la longueur de l'hypoténuse.
Pour un angle aigu $\widehat{A}$ dans un triangle rectangle :
$$\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{côté adjacent à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}}$$

cos(α) = adjacent / hypotenuse

💡 Bon réflexe : Toujours commencer par identifier l'angle droit, l'hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé par rapport à l'angle aigu considéré.

Méthode — Le cosinus : calculer un côté

1. Identifier le triangle rectangle

Assurez-vous que le triangle est bien rectangle. Le cosinus ne s'applique qu'aux angles aigus d'un triangle rectangle.

2. Identifier l'angle et les côtés

Identifiez l'angle aigu dont vous connaissez la mesure ou dont vous cherchez le cosinus. Identifiez le côté adjacent à cet angle et l'hypoténuse. L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit et le plus long côté du triangle.

3. Écrire la formule du cosinus

Appliquez la formule : $\cos(\text{angle}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.

4. Remplacer les valeurs connues et calculer

Remplacez les longueurs de côtés et la mesure de l'angle que vous connaissez. Utilisez votre calculatrice pour trouver la valeur du cosinus de l'angle ou pour effectuer les calculs nécessaires pour trouver la longueur manquante.

Exemple résolu

Soit un triangle $ABC$ rectangle en $B$. On connaît l'angle $\widehat{BAC} = 30°$ et l'hypoténuse $AC = 10$ cm. On veut calculer la longueur du côté $AB$.

Le triangle est-il rectangle ?

✓ OuiLe triangle $ABC$ est rectangle en $B$ par définition.

Quel est l'angle connu et quels sont les côtés concernés ?

Angle et côtés identifiés — L'angle connu est $\widehat{BAC} = 30°$. Le côté adjacent à $\widehat{BAC}$ est $AB$. L'hypoténuse est $AC = 10$ cm. On cherche $AB$.

Écrire la formule du cosinus

Formule écrite — $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB}{AC}$

Remplacer les valeurs et calculer

Calcul effectué — $\cos(30°) = \frac{AB}{10}$.
$AB = 10 × \cos(30°)$.
À l'aide de la calculatrice, $\cos(30°) \approx 0,866$.
$AB \approx 10 × 0,866 \approx 8,66$ cm.

La longueur du côté $AB$ est environ $8,66$ cm.

⚠️ Confondre côté adjacent et côté opposé

Le côté adjacent est celui qui touche l'angle (mais n'est pas l'hypoténuse). Le côté opposé est celui qui est en face de l'angle. Une erreur fréquente est de mélanger ces deux côtés. Rappelez-vous l'acronyme SOH CAH TOA :
SOH : $\sin(\text{angle}) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}$
CAH : $\cos(\text{angle}) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$
TOA : $\tan(\text{angle}) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$

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Exercice type Brevet

Dans un triangle $RST$ rectangle en $S$, on sait que $RT = 12$ cm et $\widehat{SRT} = 40°$.
1. Quel est le côté adjacent à l'angle $\widehat{SRT}$ ?
2. Quel est l'hypoténuse du triangle $RST$ ?
3. Écrire la relation trigonométrique permettant de calculer la longueur $RS$.
4. Calculer la longueur $RS$ (arrondir au millimètre près).

1. Le côté adjacent à l'angle $\widehat{SRT}$ est $RS$.
2. L'hypoténuse du triangle $RST$ est $RT$.
3. La relation trigonométrique est : $\cos(\widehat{SRT}) = \frac{RS}{RT}$.
4. On remplace les valeurs connues : $\cos(40°) = \frac{RS}{12}$.
$RS = 12 × \cos(40°)$.
Avec une calculatrice, $\cos(40°) \approx 0,766$.
$RS \approx 12 × 0,766 \approx 9,192$ cm.
Arrondi au millimètre près, $RS \approx 9,2$ cm.

Questions fréquentes

Quand utiliser le cosinus plutôt que le sinus ou la tangente ?

Utilisez le cosinus lorsque vous connaissez ou cherchez le côté adjacent à l'angle et l'hypoténuse. Utilisez le sinus pour le côté opposé et l'hypoténuse, et la tangente pour le côté opposé et le côté adjacent.

Le cosinus peut-il être supérieur à 1 ?

Non, le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre $0$ et $1$ (inclus). C'est un rapport de longueurs, et le côté adjacent est toujours plus petit ou égal à l'hypoténuse.

Comment trouver l'angle si je connais le cosinus ?

Pour trouver l'angle à partir de son cosinus, vous devez utiliser la fonction arc cosinus (notée $\text{arccos}$ ou $\cos^{-1}$) sur votre calculatrice. Par exemple, si $\cos(\alpha) = 0,5$, alors $\alpha = \text{arccos}(0,5) = 60°$.

Le cosinus s'applique-t-il à tous les triangles ?

Non, le cosinus tel que défini ici (rapport côté adjacent/hypoténuse) s'applique uniquement aux angles aigus des triangles rectangles. Pour les triangles non rectangles, il existe la loi des cosinus, qui est une généralisation.

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