Définition
Le théorème de Thalès est un outil puissant en géométrie pour démontrer le parallélisme de deux droites. Il s'énonce ainsi :
Soient deux droites $(d)$ et $(d')$ sécantes en un point $A$.
Soient $B$ et $M$ deux points de $(d)$ distincts de $A$.
Soient $C$ et $N$ deux points de $(d')$ distincts de $A$.
Si les points $A, B, M$ sont alignés dans le même ordre que les points $A, C, N$, et si les rapports de longueurs sont égaux :
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$$
Alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.
Méthode — La réciproque de Thalès
1. Identifier les deux configurations possibles
La réciproque de Thalès s'applique dans deux configurations :
- Configuration "papillon" ou "sablier" : Les points $A$ est entre $B$ et $M$, et entre $C$ et $N$. Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont de part et d'autre de $A$.
- Configuration "nichée" ou "emboîtée" : Les points $M$ est sur le segment $[AB]$ et $N$ est sur le segment $[AC]$. Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont du même côté de $A$.
Dans les deux cas, les points $A, B, M$ doivent être alignés dans le même ordre que les points $A, C, N$.
2. Calculer les rapports de longueurs
Calcule les rapports de longueurs correspondants. Il s'agit généralement de $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$.
Assure-toi de bien choisir les longueurs pour former les rapports. Par exemple, si tu prends $AM$ au numérateur, tu dois prendre $AN$ au numérateur de l'autre rapport.
3. Comparer les rapports
Compare les valeurs des deux rapports. Il est crucial que les valeurs soient strictement égales. Si les valeurs sont différentes, même légèrement (à cause d'arrondis par exemple, il faut être vigilant), les droites ne sont pas parallèles.
Si les rapports sont égaux, tu peux passer à l'étape suivante.
4. Vérifier l'alignement des points dans le bon ordre
C'est une condition essentielle et souvent oubliée. Les points $A, B, M$ doivent être alignés dans le même ordre que les points $A, C, N$.
- Si les points sont $A, B, M$ et $A, C, N$ (configuration emboîtée), l'ordre est respecté.
- Si les points sont $M, A, B$ et $N, A, C$ (configuration papillon), l'ordre est respecté.
Si cette condition n'est pas remplie, la réciproque de Thalès ne peut pas être appliquée pour prouver le parallélisme.
5. Conclure sur le parallélisme
Si les deux conditions (égalité des rapports et alignement des points dans le même ordre) sont remplies, tu peux conclure que les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles en utilisant la réciproque du théorème de Thalès.
Exemple résolu
Soit la figure suivante (les dimensions sont données en cm) :
Les points $A, B, M$ sont alignés et les points $A, C, N$ sont alignés.
On donne $AB = 3$, $AM = 4.5$, $AC = 4$, $AN = 6$.
Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont-elles parallèles ?
$\frac{AN}{AC} = \frac{6}{4} = 1.5$
En vérifiant les deux conditions (égalité des rapports et alignement des points dans le bon ordre), nous avons pu prouver que les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.
⚠️ L'ordre des points et l'égalité des rapports
- Le piège le plus courant est d'oublier de vérifier que les points sont alignés dans le même ordre. Si les rapports sont égaux mais que l'ordre des points n'est pas respecté (par exemple, $A, B, M$ et $A, N, C$), alors la réciproque de Thalès ne s'applique pas et on ne peut pas conclure au parallélisme.
- Un autre piège est de faire des erreurs de calcul ou d'arrondi qui faussent l'égalité des rapports. Il faut être précis dans les calculs ou utiliser les valeurs exactes (fractions) si possible.
Pack Brevet Maths
Reçois 3 fiches gratuites pour préparer le Brevet
Les 3 fiches les plus importantes du programme de 3ème, en PDF prêt à imprimer. Offertes par Adil.
Pas de spam. Désinscription en un clic.
Exercice type Brevet
Dans la figure ci-dessous, les points $P, R, S$ sont alignés et les points $P, Q, T$ sont alignés.On donne les longueurs suivantes : $PR = 5$ cm, $PS = 7.5$ cm, $PQ = 6$ cm, $PT = 9$ cm.
- Calcule les rapports $\frac{PR}{PS}$ et $\frac{PQ}{PT}$.
- Les droites $(RQ)$ et $(ST)$ sont-elles parallèles ? Justifie ta réponse en citant le théorème approprié.
- Calcul des rapports :
$\frac{PR}{PS} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}$
$\frac{PQ}{PT} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ - Les droites $(RQ)$ et $(ST)$ sont-elles parallèles ?
On constate que $\frac{PR}{PS} = \frac{PQ}{PT} = \frac{2}{3}$.
De plus, les points $P, R, S$ sont alignés dans le même ordre que les points $P, Q, T$.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, on peut conclure que les droites $(RQ)$ et $(ST)$ sont parallèles.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?
Pourquoi l'ordre des points est-il si important ?
Peut-on utiliser la réciproque de Thalès pour prouver qu'un triangle est rectangle ?
Que faire si les rapports ne sont pas égaux ?
Pour aller plus loin
Votre enfant bloque sur ce chapitre ?
Adil explique la méthode en 1 séance. Cours en ligne disponibles partout en France à 20€/h.