Géométrie Plane · Fiche N°62 / 104

L'homothétie : construire l'image d'une figure

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

L'homothétie est une transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure par rapport à un point fixe appelé centre d'homothétie et selon un certain rapport appelé rapport d'homothétie.

Soit $O$ le centre d'homothétie et $k$ son rapport. Si $M'$ est l'image d'un point $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$, alors :

  • Les points $O$, $M$ et $M'$ sont alignés.
  • Le vecteur $\vec{OM'} = k × \vec{OM}$.
  • La distance $OM' = |k| × OM$.

Si $k > 0$, $M$ et $M'$ sont du même côté de $O$.
Si $k < 0$, $M$ et $M'$ sont de part et d'autre de $O$.
Si $|k| > 1$, la figure est agrandie.
Si $0 < |k| < 1$, la figure est réduite.
Si $k = 1$, la figure est inchangée (identité).
Si $k = -1$, c'est une symétrie centrale.

Homothétie de centre O et rapport k
💡 Bon réflexe : Toujours commencer par tracer les droites passant par le centre d'homothétie et chaque sommet de la figure. Ensuite, utilisez le rapport $k$ pour placer l'image de chaque sommet.

Méthode — L'homothétie : construire l'image d'une figure

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Étape 1 : Identifier le centre et le rapport

Avant de commencer, repérez clairement le centre d'homothétie $O$ et le rapport $k$ donné dans l'énoncé. Le rapport $k$ peut être positif ou négatif, ce qui influence la position de l'image.

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Étape 2 : Construire l'image d'un point

Pour chaque sommet $A$ de la figure initiale, tracez la demi-droite $[OA)$ si $k > 0$, ou la droite $(OA)$ si $k < 0$.
Mesurez la distance $OA$.
Reportez la distance $OA' = |k| × OA$ sur la demi-droite ou la droite.

  • Si $k > 0$, $A'$ est sur la demi-droite $[OA)$ du même côté que $A$ par rapport à $O$.
  • Si $k < 0$, $A'$ est sur la droite $(OA)$ mais de l'autre côté de $O$ par rapport à $A$.

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Étape 3 : Relier les points images

Une fois que vous avez construit l'image de tous les sommets de la figure (par exemple $A'$, $B'$, $C'$ pour un triangle $ABC$), reliez ces points dans le même ordre que les sommets originaux pour obtenir la figure transformée (par exemple le triangle $A'B'C'$).

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Propriétés de l'homothétie

L'homothétie conserve :

  • L'alignement des points.
  • Le parallélisme des droites.
  • Les angles (l'image d'un angle est un angle de même mesure).
  • Les formes des figures (l'image d'un cercle est un cercle, l'image d'un triangle est un triangle similaire, etc.).
L'homothétie multiplie :
  • Les longueurs par $|k|$.
  • Les aires par $k^2$.
  • Les volumes par $|k|^3$.

Exemple résolu

Construisons l'image du triangle $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = -2$.

1
Le centre $O$ est au milieu du segment $[AA']$ ?
✗ NonLe centre $O$ est le point fixe de l'homothétie. Si $k=-1$, $O$ serait le milieu de $[AA']$ (symétrie centrale). Ici, $k=-2$, donc $A'$ est deux fois plus loin de $O$ que $A$, et de l'autre côté.
2
Le triangle $A'B'C'$ est-il plus petit que $ABC$ ?
✗ NonLe rapport d'homothétie est $k = -2$. Comme $|k| = 2 > 1$, la figure est agrandie. Le triangle $A'B'C'$ est un agrandissement du triangle $ABC$.
3
Les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont-elles parallèles ?
✓ OuiL'homothétie conserve le parallélisme. L'image d'une droite est une droite parallèle à la droite initiale.
4
Les angles du triangle $A'B'C'$ sont-ils les mêmes que ceux de $ABC$ ?
✓ OuiL'homothétie conserve les mesures d'angles. Les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ sont semblables.

En suivant ces étapes, on obtient le triangle $A'B'C'$ qui est un agrandissement du triangle $ABC$, orienté différemment car le rapport est négatif. Chaque côté de $A'B'C'$ est $2$ fois plus long que le côté correspondant de $ABC$.

⚠️ Confusion avec la symétrie centrale ou axiale

  1. L'homothétie est une transformation plus générale.
  2. Une symétrie centrale est une homothétie de rapport $k = -1$.
  3. Une symétrie axiale n'est pas une homothétie.
  4. Ne confondez pas les propriétés : l'homothétie ne conserve pas l'orientation des figures si $k < 0$, et elle modifie les longueurs et les aires (sauf si $|k|=1$).

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Exercice type Brevet

Exercice : Construction d'image par homothétie

Sur une feuille de papier quadrillé, tracez un triangle $DEF$ dont les sommets sont $D(1,1)$, $E(3,1)$ et $F(2,3)$.

1. Construisez l'image $D'E'F'$ du triangle $DEF$ par l'homothétie de centre $O(0,0)$ et de rapport $k=2$.

2. Construisez l'image $D''E''F''$ du triangle $DEF$ par l'homothétie de centre $P(4,0)$ et de rapport $k=-0.5$.

Corrigé de l'exercice

1. Homothétie de centre $O(0,0)$ et de rapport $k=2$ :

  • Pour $D(1,1)$ : Tracez la droite $(OD)$. Mesurez $OD$. $OD' = 2 × OD$. $D'$ est sur $(OD)$ du même côté que $D$. $D'(2,2)$.
  • Pour $E(3,1)$ : Tracez la droite $(OE)$. Mesurez $OE$. $OE' = 2 × OE$. $E'$ est sur $(OE)$ du même côté que $E$. $E'(6,2)$.
  • Pour $F(2,3)$ : Tracez la droite $(OF)$. Mesurez $OF$. $OF' = 2 × OF$. $F'$ est sur $(OF)$ du même côté que $F$. $F'(4,6)$.

Reliez $D'$, $E'$, $F'$ pour former le triangle $D'E'F'$.

2. Homothétie de centre $P(4,0)$ et de rapport $k=-0.5$ :

  • Pour $D(1,1)$ : Tracez la droite $(PD)$. Mesurez $PD$. $PD'' = 0.5 × PD$. $D''$ est sur $(PD)$ mais de l'autre côté de $P$ par rapport à $D$. $D''(5.5, -0.5)$.
  • Pour $E(3,1)$ : Tracez la droite $(PE)$. Mesurez $PE$. $PE'' = 0.5 × PE$. $E''$ est sur $(PE)$ mais de l'autre côté de $P$ par rapport à $E$. $E''(4.5, -0.5)$.
  • Pour $F(2,3)$ : Tracez la droite $(PF)$. Mesurez $PF$. $PF'' = 0.5 × PF$. $F''$ est sur $(PF)$ mais de l'autre côté de $P$ par rapport à $F$. $F''(5, -1.5)$.

Reliez $D''$, $E''$, $F''$ pour former le triangle $D''E''F''$.

Questions fréquentes

Comment savoir si la figure est agrandie ou réduite ?
La figure est agrandie si le rapport d'homothétie $k$ a une valeur absolue supérieure à $1$ (c'est-à-dire $|k| > 1$). Elle est réduite si la valeur absolue de $k$ est comprise entre $0$ et $1$ (c'est-à-dire $0 < |k| < 1$). Si $|k|=1$, la figure a la même taille.
Que signifie un rapport d'homothétie négatif ?
Un rapport d'homothétie négatif signifie que l'image de la figure se trouve de l'autre côté du centre d'homothétie par rapport à la figure originale. Les points $O$, $M$ et $M'$ sont alignés, mais $M$ et $M'$ sont de part et d'autre de $O$.
L'homothétie conserve-t-elle les angles ?
Oui, l'homothétie conserve les mesures des angles. C'est une transformation qui préserve la forme des figures, elles sont dites 'semblables'.
Comment calculer les coordonnées d'un point image $M'(x',y')$ si $M(x,y)$ et le centre $O(x_O, y_O)$ sont donnés ?
Si le centre est l'origine $O(0,0)$, alors $x' = kx$ et $y' = ky$.
Si le centre est un point quelconque $O(x_O, y_O)$, alors les formules sont :
$$x' - x_O = k × (x - x_O)$$
$$y' - y_O = k × (y - y_O)$$
Ce qui donne :
$$x' = k × (x - x_O) + x_O$$
$$y' = k × (y - y_O) + y_O$$

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