Géométrie Plane · Fiche N°61 / 104

L'homothétie : définition et rapport

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

Une homothétie est une transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure en conservant sa forme. Elle est définie par un centre $O$ et un rapport $k$ (un nombre réel non nul).

Si $M'$ est l'image d'un point $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$, alors les points $O$, $M$ et $M'$ sont alignés. De plus, la distance $OM'$ est égale à $|k| × OM$.

Le vecteur $\vec{OM'}$ est égal à $k × \vec{OM}$.

  • Si $k > 0$, $M$ et $M'$ sont du même côté de $O$.
  • Si $k < 0$, $M$ et $M'$ sont de part et d'autre de $O$.
  • Si $|k| > 1$, la figure est agrandie.
  • Si $0 < |k| < 1$, la figure est réduite.
  • Si $k = 1$, la figure est inchangée (c'est l'identité).
  • Si $k = -1$, la figure subit une symétrie centrale de centre $O$.

Homothétie de centre O et rapport k
💡 Bon réflexe : Toujours visualiser le centre $O$ et la position relative des points $M$ et $M'$ pour déterminer le signe de $k$.

Méthode — L'homothétie : définition et rapport

1

Construire l'image d'un point par homothétie

Pour construire l'image $M'$ d'un point $M$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$:

  • Tracez la droite passant par $O$ et $M$.
  • Si $k > 0$: $M'$ est sur la demi-droite $[OM)$ telle que $OM' = k × OM$.
  • Si $k < 0$: $M'$ est sur la demi-droite opposée à $[OM)$ (c'est-à-dire sur la demi-droite $[OM')$ telle que $O$ est entre $M$ et $M'$) telle que $OM' = |k| × OM$.

2

Déterminer le rapport d'une homothétie

Si une figure $F'$ est l'image d'une figure $F$ par une homothétie de centre $O$:

  • Choisissez un point $M$ de $F$ et son image $M'$ de $F'$.
  • Le rapport $k$ est donné par la relation vectorielle $\vec{OM'} = k × \vec{OM}$.
  • Si $O$, $M$, $M'$ sont alignés dans cet ordre ou $O$, $M'$, $M$ dans cet ordre, alors $k = \frac{OM'}{OM}$.
  • Si $M$ est entre $O$ et $M'$, ou $M'$ est entre $O$ et $M$, alors $k = -\frac{OM'}{OM}$.
  • Le rapport $k$ peut aussi être trouvé en comparant les longueurs de segments homologues: $k = \frac{\text{longueur image}}{\text{longueur originale}}$. Attention au signe de $k$ qui dépend de l'orientation des points par rapport au centre.

3

Propriétés de l'homothétie

L'homothétie conserve:

  • L'alignement des points.
  • Le parallélisme des droites.
  • Les angles (les angles d'une figure et de son image sont égaux).
  • L'orientation des figures si $k > 0$. Elle inverse l'orientation si $k < 0$.
L'homothétie multiplie:
  • Les longueurs par $|k|$.
  • Les aires par $k^2$.
  • Les volumes par $|k|^3$.

Exemple résolu

Soit un triangle $ABC$ et un point $O$. On veut construire l'image $A'B'C'$ du triangle $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = -2$.

1
Construction de $A'$
Tracez la droite $(OA)$. Puisque $k = -2$ (négatif), $A'$ est sur la demi-droite opposée à $[OA)$. Mesurez $OA$. $A'$ est tel que $OA' = 2 × OA$. $A'$ est de l'autre côté de $O$ par rapport à $A$.
2
Construction de $B'$
Tracez la droite $(OB)$. $B'$ est sur la demi-droite opposée à $[OB)$. Mesurez $OB$. $B'$ est tel que $OB' = 2 × OB$. $B'$ est de l'autre côté de $O$ par rapport à $B$.
3
Construction de $C'$
Tracez la droite $(OC)$. $C'$ est sur la demi-droite opposée à $[OC)$. Mesurez $OC$. $C'$ est tel que $OC' = 2 × OC$. $C'$ est de l'autre côté de $O$ par rapport à $C$.

Le triangle $A'B'C'$ est une image agrandie (car $|k|=2 > 1$) et inversée (car $k < 0$) du triangle $ABC$. Les côtés de $A'B'C'$ sont deux fois plus longs que ceux de $ABC$. L'aire de $A'B'C'$ est $k^2 = (-2)^2 = 4$ fois l'aire de $ABC$.

⚠️ Oublier le signe du rapport $k$

  1. Le rapport $k$ peut être négatif.
  2. Si $k < 0$, l'image est de l'autre côté du centre d'homothétie par rapport à la figure originale.
  3. Ne pas tenir compte du signe peut entraîner une construction incorrecte de la figure image, notamment son orientation.
  4. Le signe indique si la figure est 'retournée' par rapport au centre.

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Exercice type Brevet

1. Soit un point $A$ et un centre $O$. Construire l'image $A'$ de $A$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 3$.
2. Soit un segment $[AB]$ de longueur $5$ cm. On applique une homothétie de rapport $k = -0,5$. Quelle est la longueur du segment image $[A'B']$ ?
3. Un triangle $DEF$ a une aire de $12$ cm$^2$. Après une homothétie, son image $D'E'F'$ a une aire de $108$ cm$^2$. Quel est le rapport $k$ de cette homothétie (donner toutes les solutions possibles) ?
1. Tracez la demi-droite $[OA)$. $A'$ est sur cette demi-droite tel que $OA' = 3 × OA$.
2. La longueur du segment image est $A'B' = |k| × AB = |-0,5| × 5 = 0,5 × 5 = 2,5$ cm.
3. L'aire est multipliée par $k^2$. Donc $Aire(D'E'F') = k^2 × Aire(DEF)$.
$108 = k^2 × 12$
$k^2 = \frac{108}{12} = 9$
Donc $k = \sqrt{9}$ ou $k = -\sqrt{9}$.
Les rapports possibles sont $k = 3$ ou $k = -3$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une homothétie et un agrandissement/réduction ?
Une homothétie est une transformation géométrique spécifique qui réalise un agrandissement ou une réduction à partir d'un point fixe (le centre). Un agrandissement ou une réduction est le résultat de cette transformation. L'homothétie est le processus, l'agrandissement/réduction est l'effet.
Le centre d'homothétie peut-il être sur la figure ?
Oui, le centre d'homothétie peut être n'importe quel point du plan, y compris un point appartenant à la figure. Si un point de la figure est le centre d'homothétie, ce point est invariant (son image est lui-même).
Comment savoir si le rapport $k$ est positif ou négatif ?
Si la figure image est du même côté du centre que la figure originale, le rapport $k$ est positif. Si la figure image est de l'autre côté du centre par rapport à la figure originale, le rapport $k$ est négatif.
Une homothétie est-elle une isométrie ?
Non, une homothétie n'est une isométrie (transformation qui conserve les distances) que dans le cas particulier où son rapport $|k|=1$. Dans tous les autres cas, elle modifie les distances (agrandit ou réduit).

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