Géométrie Plane · Fiche N°60 / 104

La rotation : construire l'image d'une figure

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

La rotation est une transformation géométrique qui fait « tourner » une figure autour d'un point fixe appelé centre de rotation, d'un certain angle et dans un certain sens (horaire ou antihoraire).

Une rotation conserve les longueurs, les angles et les aires. L'image d'une figure par rotation lui est donc superposable.

Les éléments clés d'une rotation sont :

  • Le centre de rotation $O$.
  • L'angle de rotation $\alpha$ (par exemple $90°$, $180°$, $270°$).
  • Le sens de rotation (souvent antihoraire, appelé aussi sens direct ou positif, sauf indication contraire).

Construction de l'image M' par rotation de centre O et d'angle θ
💡 Bon réflexe : Toujours bien identifier le centre, l'angle et le sens de rotation avant de commencer la construction. Utiliser un crayon bien taillé et être précis avec les instruments de géométrie.

Méthode — La rotation : construire l'image d'une figure

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Étape 1 : Identifier les éléments de la rotation

Avant de commencer, assurez-vous de bien connaître le centre de rotation $O$, l'angle de rotation $\alpha$ et le sens de rotation.

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Étape 2 : Construire l'image d'un point

Pour construire l'image $A'$ d'un point $A$ par une rotation de centre $O$, d'angle $\alpha$ et dans un sens donné :
1. Tracez le segment $[OA]$.
2. À l'aide d'un rapporteur, tracez un angle de sommet $O$, de côté $[OA]$ et d'amplitude $\alpha$ dans le sens de rotation indiqué. Le deuxième côté de l'angle sera la demi-droite $[OA')$.
3. Reportez la longueur $OA$ sur cette demi-droite pour trouver le point $A'$. Ainsi, $OA = OA'$.
Le point $A'$ est l'image de $A$ par la rotation.

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Étape 3 : Appliquer la méthode à tous les sommets de la figure

Si la figure est un polygone (triangle, carré, etc.), répétez l'étape 2 pour chacun de ses sommets. Par exemple, pour un triangle $ABC$, construisez $A'$, $B'$ et $C'$.
Si la figure est un cercle de centre $C$ et de rayon $r$, construisez l'image $C'$ du centre $C$. Le cercle image aura pour centre $C'$ et le même rayon $r$.

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Étape 4 : Relier les points images

Une fois tous les points images construits, reliez-les dans le même ordre que les points originaux pour obtenir la figure image. Par exemple, pour un triangle $ABC$, reliez $A'$ à $B'$, $B'$ à $C'$ et $C'$ à $A'$ pour former le triangle $A'B'C'$.

Exemple résolu

Soit un triangle $ABC$ avec $A(1,2)$, $B(3,1)$, $C(2,4)$. Nous voulons construire son image $A'B'C'$ par une rotation de centre $O(0,0)$ et d'angle $90°$ dans le sens antihoraire (sens direct).

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Construction de $A'$
1. Tracer $[OA]$.
2. Mesurer $OA$.
3. À partir de $[OA]$, tracer un angle de $90°$ dans le sens antihoraire. Soit $[Ox)$ la nouvelle demi-droite.
4. Placer $A'$ sur $[Ox)$ tel que $OA' = OA$. On trouve $A'(-2,1)$.
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Construction de $B'$
1. Tracer $[OB]$.
2. Mesurer $OB$.
3. À partir de $[OB]$, tracer un angle de $90°$ dans le sens antihoraire. Soit $[Oy)$ la nouvelle demi-droite.
4. Placer $B'$ sur $[Oy)$ tel que $OB' = OB$. On trouve $B'(-1,3)$.
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Construction de $C'$
1. Tracer $[OC]$.
2. Mesurer $OC$.
3. À partir de $[OC]$, tracer un angle de $90°$ dans le sens antihoraire. Soit $[Oz)$ la nouvelle demi-droite.
4. Placer $C'$ sur $[Oz)$ tel que $OC' = OC$. On trouve $C'(-4,2)$.
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Finalisation de la figure
Relier les points $A'$, $B'$ et $C'$ pour former le triangle $A'B'C'$. Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par la rotation.

Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par la rotation spécifiée. On peut vérifier que les longueurs des côtés et les mesures des angles sont conservées.

⚠️ Erreur de sens ou d'angle

  1. La principale erreur est de se tromper de sens de rotation (horaire au lieu d'antihoraire, ou inversement) ou de mal mesurer l'angle avec le rapporteur.
  2. Toujours vérifier le sens indiqué (souvent antihoraire par défaut, sauf mention contraire) et être précis avec le rapporteur.
  3. Une autre erreur est de ne pas maintenir la distance au centre de rotation ($OA \neq OA'$).

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Exercice type Brevet

Exercice : Rotation d'un segment

Soit un segment $[AB]$ avec les points $A(1,1)$ et $B(3,1)$.

Construire l'image $A'B'$ de ce segment par une rotation de centre $O(0,0)$ et d'angle $180°$ (le sens n'a pas d'importance pour $180°$).

Corrigé de l'exercice

1. Construction de $A'$ :

  • Tracez le segment $[OA]$.
  • Puisque l'angle est de $180°$, le point $A'$ sera sur la droite $(OA)$, de l'autre côté de $O$.
  • Reportez la longueur $OA$ de l'autre côté de $O$. Si $A(1,1)$, alors $A'(-1,-1)$.

2. Construction de $B'$ :

  • Tracez le segment $[OB]$.
  • De même, pour un angle de $180°$, $B'$ sera sur la droite $(OB)$, de l'autre côté de $O$.
  • Reportez la longueur $OB$ de l'autre côté de $O$. Si $B(3,1)$, alors $B'(-3,-1)$.

3. Finalisation :

  • Reliez les points $A'$ et $B'$ pour former le segment $[A'B']$.

Le segment $[A'B']$ est l'image du segment $[AB]$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $180°$.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le sens direct ou antihoraire ?
Le sens direct (ou positif, ou antihoraire) est le sens inverse des aiguilles d'une montre. C'est le sens conventionnel en mathématiques, sauf indication contraire.
Comment faire si le centre de rotation est un des points de la figure ?
Si le centre de rotation $O$ est un des points de la figure (par exemple, $O=A$), alors l'image de ce point est lui-même : $A' = A$. Il suffit alors de construire les images des autres points.
Une rotation conserve-t-elle les propriétés des figures ?
Oui, une rotation est une isométrie. Elle conserve les longueurs, les angles, les aires, le parallélisme et le périmètre. L'image est une figure identique à l'originale, juste déplacée et orientée différemment.
Comment construire une rotation sans rapporteur ?
Pour des angles spécifiques ($90°$, $180°$), on peut utiliser une équerre ou un compas. Pour $90°$, on trace la perpendiculaire. Pour $180°$, on prolonge le segment. Pour d'autres angles, le rapporteur est indispensable. Sur quadrillage, on peut aussi utiliser les coordonnées : pour une rotation de $90°$ autour de l'origine dans le sens direct, un point $(x,y)$ a pour image $(-y,x)$.

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