Géométrie Plane · Fiche N°59 / 104

La rotation : définition et propriétés

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

La rotation est une transformation géométrique qui fait « tourner » une figure autour d'un point fixe appelé centre de rotation, d'un certain angle et dans un certain sens.

Une rotation est définie par :

  • Un centre $O$ (un point).
  • Un angle $\alpha$ (une mesure en degrés).
  • Un sens (horaire ou antihoraire). Le sens antihoraire (inverse des aiguilles d'une montre) est le sens positif par convention.

L'image d'un point $M$ par une rotation de centre $O$, d'angle $\alpha$ et de sens donné est un point $M'$ tel que :
  • La distance $OM$ est égale à la distance $OM'$ ($OM = OM'$).
  • L'angle $\widehat{MOM'}$ est égal à l'angle de rotation $\alpha$.

Rotation de centre O, d'angle θ : OM = OM'
💡 Bon réflexe : Toujours vérifier les trois éléments de la rotation : centre, angle, et sens. Utiliser un compas pour les distances et un rapporteur pour les angles.

Méthode — La rotation : définition et propriétés

1

Identifier les éléments de la rotation

Avant de construire l'image d'une figure par rotation, il est essentiel d'identifier clairement les trois éléments qui définissent la rotation : le centre de rotation $O$, l'angle de rotation $\alpha$ et le sens de rotation (horaire ou antihoraire).

2

Construire l'image d'un point

Pour construire l'image $M'$ d'un point $M$ par une rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ :

  1. Tracez le segment $[OM]$.
  2. À partir du segment $[OM]$, construisez un angle de mesure $\alpha$ autour du point $O$, dans le sens de rotation indiqué. Le deuxième côté de cet angle sera une demi-droite.
  3. Sur cette demi-droite, placez le point $M'$ tel que la distance $OM'$ soit égale à la distance $OM$. Pour cela, vous pouvez utiliser un compas en pointant sur $O$ et en ouvrant jusqu'à $M$.

3

Construire l'image d'une figure

Pour construire l'image d'une figure (segment, triangle, polygone, etc.) par rotation, construisez l'image de chacun de ses sommets (ou points clés) en suivant la méthode décrite pour un point. Ensuite, reliez les images des points dans le même ordre que les points originaux pour obtenir l'image de la figure.

Exemple résolu

Soit un triangle $ABC$ et un point $O$. On veut construire l'image $A'B'C'$ du triangle $ABC$ par une rotation de centre $O$ et d'angle $90°$ dans le sens antihoraire.

1
Le centre de rotation est-il $O$ ?
✓ OuiC'est le point autour duquel la rotation est effectuée.
2
L'angle de rotation est-il $90°$ ?
✓ OuiC'est la mesure de l'angle $\widehat{AOA'}$, $\widehat{BOB'}$ et $\widehat{COC'}$.
3
Le sens de rotation est-il antihoraire ?
✓ OuiC'est le sens positif, inverse des aiguilles d'une montre.
4
La distance $OA$ est-elle égale à $OA'$ ?
✓ OuiC'est une propriété fondamentale de la rotation : la distance entre le centre et un point est conservée.
5
Le triangle $A'B'C'$ est-il de même forme et de même taille que $ABC$ ?
✓ OuiLa rotation est une isométrie, elle conserve les longueurs, les angles et les aires.

En appliquant la méthode de construction point par point, on obtient le triangle $A'B'C'$ qui est l'image du triangle $ABC$ par la rotation spécifiée. On observe que les longueurs des côtés et les mesures des angles sont conservées.

⚠️ Confondre le sens de rotation

  1. Le sens de rotation est crucial.
  2. Par convention, le sens positif est le sens antihoraire (inverse des aiguilles d'une montre).
  3. Un angle de $90°$ dans le sens antihoraire n'est pas la même chose qu'un angle de $90°$ dans le sens horaire.
  4. Si le sens n'est pas précisé, on considère généralement le sens positif (antihoraire).

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Exercice type Brevet

1. Tracez un point $O$ et un point $A$. Construisez l'image $A'$ du point $A$ par la rotation de centre $O$, d'angle $60°$ dans le sens horaire.

2. Tracez un segment $[AB]$ et un point $O$ n'appartenant pas au segment. Construisez l'image $[A'B']$ du segment $[AB]$ par la rotation de centre $O$, d'angle $180°$ (le sens n'a pas d'importance pour $180°$). Que remarquez-vous concernant les segments $[AB]$ et $[A'B']$ ?
1. Construction de $A'$ :
  • Tracez le segment $[OA]$.
  • À partir de $[OA]$, construisez un angle de $60°$ autour de $O$ dans le sens horaire.
  • Sur le côté de cet angle, placez $A'$ tel que $OA' = OA$.

2. Construction de $[A'B']$ :
  • Pour le point $A$ : Tracez $[OA]$. Construisez l'angle $\widehat{AOA'}$ de $180°$. Placez $A'$ sur la demi-droite opposée à $OA$ tel que $OA' = OA$. $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$.
  • Pour le point $B$ : Tracez $[OB]$. Construisez l'angle $\widehat{BOB'}$ de $180°$. Placez $B'$ sur la demi-droite opposée à $OB$ tel que $OB' = OB$. $B'$ est le symétrique de $B$ par rapport à $O$.
  • Reliez $A'$ et $B'$ pour former le segment $[A'B']$.
Remarque : Les segments $[AB]$ et $[A'B']$ sont parallèles et de même longueur. Une rotation de $180°$ est équivalente à une symétrie centrale.

Questions fréquentes

Quelles sont les propriétés conservées par une rotation ?
Une rotation est une isométrie, elle conserve les longueurs, les angles, les aires, le parallélisme et l'alignement des points.
Une rotation de $180°$ a-t-elle un sens ?
Non, pour un angle de $180°$, le sens horaire ou antihoraire aboutit au même point image. Une rotation de $180°$ est équivalente à une symétrie centrale par rapport au centre de rotation.
Comment trouver le centre d'une rotation si on connaît une figure et son image ?
Si vous avez un point $A$ et son image $A'$, ainsi qu'un point $B$ et son image $B'$, le centre de rotation $O$ est à l'intersection des médiatrices des segments $[AA']$ et $[BB']$. En effet, $O$ est équidistant de $A$ et $A'$, et équidistant de $B$ et $B'$.
Une rotation peut-elle transformer une figure en une figure plus grande ou plus petite ?
Non, une rotation est une isométrie, ce qui signifie qu'elle conserve les distances et les formes. La figure transformée (l'image) aura toujours la même taille et la même forme que la figure originale.

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