Géométrie Plane · Fiche N°58 / 104

La translation : construire l'image d'une figure

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

La translation est une transformation géométrique qui déplace tous les points d'une figure d'une même distance et dans une même direction. Elle est définie par un vecteur de translation. Un vecteur est caractérisé par :

  • Une direction (celle de la droite qui le porte).
  • Un sens (de son origine vers son extrémité).
  • Une longueur (sa norme).

L'image d'un point $A$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ est le point $A'$ tel que le quadrilatère $AA'B'B$ (si $\vec{u} = \vec{BB'}$) est un parallélogramme. Autrement dit, $\vec{AA'} = \vec{u}$.

Translation de vecteur u
💡 Bon réflexe : Toujours vérifier que l'image de la figure a la même orientation que la figure originale. Si ce n'est pas le cas, ce n'est pas une translation !

Méthode — La translation : construire l'image d'une figure

1

Comprendre le vecteur de translation

Le vecteur de translation $\vec{u}$ indique la direction, le sens et la distance du déplacement. Si le vecteur est donné par deux points $A$ et $B$, alors $\vec{u} = \vec{AB}$. Cela signifie que chaque point de la figure sera déplacé comme si on le faisait passer de $A$ à $B$.

2

Construire l'image d'un point

Pour construire l'image $M'$ d'un point $M$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ :

  • Tracez une droite parallèle au vecteur $\vec{u}$ passant par $M$.
  • Reportez la longueur du vecteur $\vec{u}$ sur cette droite à partir de $M$, dans le même sens que $\vec{u}$.
  • Le point obtenu est $M'$. Vous pouvez aussi utiliser un compas pour reporter la longueur et une règle pour la direction.

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Construire l'image d'une figure

Pour construire l'image d'une figure (segment, droite, polygone, cercle) par une translation :

  • Identifiez les points clés de la figure (extrémités d'un segment, sommets d'un polygone, centre d'un cercle).
  • Construisez l'image de chacun de ces points clés en utilisant la méthode décrite ci-dessus.
  • Reliez les images des points clés dans le même ordre que les points originaux pour obtenir l'image de la figure.

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Propriétés de la translation

La translation conserve :

  • Les longueurs : un segment et son image ont la même longueur.
  • Les angles : un angle et son image ont la même mesure.
  • Les aires : une figure et son image ont la même aire.
  • L'orientation : une figure et son image ont la même orientation.
  • Le parallélisme : des droites parallèles ont pour images des droites parallèles.

Exemple résolu

Soit un triangle $ABC$ et un vecteur $\vec{u}$ défini par les points $D$ et $E$ (donc $\vec{u} = \vec{DE}$). Nous allons construire l'image $A'B'C'$ du triangle $ABC$ par la translation de vecteur $\vec{u}$.

1
Construire $A'$ image de $A$
On trace la droite passant par $A$ et parallèle à $(DE)$. On reporte la longueur $DE$ sur cette droite à partir de $A$, dans le sens de $D$ vers $E$. On obtient $A'$. Le quadrilatère $ADEA'$ est un parallélogramme.
2
Construire $B'$ image de $B$
On répète la même procédure pour le point $B$. On trace la droite passant par $B$ et parallèle à $(DE)$. On reporte la longueur $DE$ sur cette droite à partir de $B$, dans le sens de $D$ vers $E$. On obtient $B'$. Le quadrilatère $BDEB'$ est un parallélogramme.
3
Construire $C'$ image de $C$
On répète la même procédure pour le point $C$. On trace la droite passant par $C$ et parallèle à $(DE)$. On reporte la longueur $DE$ sur cette droite à partir de $C$, dans le sens de $D$ vers $E$. On obtient $C'$. Le quadrilatère $CDEC'$ est un parallélogramme.
4
Construire le triangle $A'B'C'$
On relie les points $A'$, $B'$ et $C'$ pour former le triangle $A'B'C'$. Ce triangle est l'image du triangle $ABC$ par la translation de vecteur $\vec{u}$. Il est superposable au triangle $ABC$.

L'image du triangle $ABC$ par la translation de vecteur $\vec{DE}$ est le triangle $A'B'C'$. On observe que les deux triangles sont identiques en taille et en forme, seule leur position dans le plan a changé.

⚠️ Confondre translation et rotation/symétrie

  1. Ne pas respecter la direction et le sens du vecteur de translation.
  2. La translation est un simple 'glissement' ; la figure ne tourne pas (comme dans une rotation) et n'est pas 'retournée' (comme dans une symétrie axiale).
  3. Assurez-vous que l'image de la figure a exactement la même orientation que la figure originale.

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Exercice type Brevet

Exercice : Translation de figure

Soit un quadrilatère $ABCD$ dont les coordonnées sont $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 3)$ et $D(1, 3)$.

Le vecteur de translation $\vec{v}$ est défini par les coordonnées $(2, -1)$.

  1. Donner les coordonnées des points $A'$, $B'$, $C'$ et $D'$, images respectives de $A$, $B$, $C$ et $D$ par la translation de vecteur $\vec{v}$.
  2. Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Justifier.
  3. Quelle est la nature du quadrilatère $A'B'C'D'$ ? Justifier.

Corrigé de l'exercice

  1. Coordonnées des images :
    Pour un point $M(x, y)$ et un vecteur $\vec{v}(x_v, y_v)$, l'image $M'(x', y')$ a pour coordonnées $x' = x + x_v$ et $y' = y + y_v$.
    • $A(1, 1) \rightarrow A'(1+2, 1-1) = A'(3, 0)$
    • $B(4, 1) \rightarrow B'(4+2, 1-1) = B'(6, 0)$
    • $C(4, 3) \rightarrow C'(4+2, 3-1) = C'(6, 2)$
    • $D(1, 3) \rightarrow D'(1+2, 3-1) = D'(3, 2)$
  2. Nature du quadrilatère $ABCD$ :
    Calculons les longueurs des côtés :
    $\text{AB} = \sqrt{(4-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$
    $\text{BC} = \sqrt{(4-4)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$
    $\text{CD} = \sqrt{(1-4)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$
    $\text{DA} = \sqrt{(1-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$
    Les côtés opposés ont la même longueur ($\text{AB} = \text{CD}$ et $\text{BC} = \text{DA}$). C'est un parallélogramme. De plus, les côtés adjacents sont perpendiculaires car $\text{AB}$ est horizontal et $\text{BC}$ est vertical (ou $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (3,0) \cdot (0,2) = 0$). Donc, le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.
  3. Nature du quadrilatère $A'B'C'D'$ :
    La translation est une isométrie, ce qui signifie qu'elle conserve les longueurs, les angles et la nature des figures. Par conséquent, si $ABCD$ est un rectangle, alors son image $A'B'C'D'$ par translation est aussi un rectangle.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un vecteur de translation ?
Un vecteur de translation est un objet mathématique qui indique la direction, le sens et la distance d'un déplacement. Il est souvent représenté par une flèche.
Comment savoir si deux figures sont images l'une de l'autre par translation ?
Deux figures sont images l'une de l'autre par translation si elles sont superposables (même taille, même forme) et si elles ont la même orientation. On peut vérifier que tous les points correspondants sont déplacés par le même vecteur.
La translation modifie-t-elle la taille ou la forme d'une figure ?
Non, la translation est une isométrie. Elle conserve les longueurs, les angles et les aires. La taille et la forme de la figure restent inchangées, seule sa position dans le plan est modifiée.
Peut-on faire une translation sans connaître le vecteur ?
Non, pour réaliser une translation, il est indispensable de connaître le vecteur de translation, soit par ses coordonnées, soit par deux points qui le définissent (par exemple, de $A$ vers $B$). Sans cette information, le déplacement est indéterminé.

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