Nombres et Calculs · Fiche N°31 / 104

Appliquer un pourcentage

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

Appliquer un pourcentage à une valeur, c'est calculer une partie de cette valeur proportionnelle au pourcentage donné. Un pourcentage est une fraction de 100. Par exemple, $25\%$ signifie $\frac{25}{100}$.
Il existe plusieurs situations pour appliquer un pourcentage :

  • Calculer une partie d'une quantité (ex: $20\%$ de $150$)
  • Augmenter une quantité d'un certain pourcentage (ex: augmenter un prix de $10\%$)
  • Diminuer une quantité d'un certain pourcentage (ex: appliquer une réduction de $15\%$)

💡 Bon réflexe : Toujours identifier clairement la valeur de référence sur laquelle le pourcentage est appliqué (valeur initiale, valeur après une première modification, etc.).

Méthode — Appliquer un pourcentage

1

Calculer une partie d'une quantité

Pour calculer $t\%$ d'une valeur $V$, on multiplie la valeur $V$ par la fraction $\frac{t}{100}$.
$$\text{Partie} = V × \frac{t}{100}$$

2

Augmenter une quantité de $t\%$

Pour augmenter une valeur $V$ de $t\%$, on peut calculer l'augmentation puis l'ajouter à $V$, ou utiliser un coefficient multiplicateur.
Méthode 1 : Calculer l'augmentation $A = V × \frac{t}{100}$, puis la nouvelle valeur $V' = V + A$.
Méthode 2 : Utiliser le coefficient multiplicateur $CM = 1 + \frac{t}{100}$. La nouvelle valeur est $V' = V × CM$.
$$\text{Nouvelle valeur} = V × \left(1 + \frac{t}{100}\right)$$

3

Diminuer une quantité de $t\%$

Pour diminuer une valeur $V$ de $t\%$, on peut calculer la diminution puis la soustraire à $V$, ou utiliser un coefficient multiplicateur.
Méthode 1 : Calculer la diminution $D = V × \frac{t}{100}$, puis la nouvelle valeur $V' = V - D$.
Méthode 2 : Utiliser le coefficient multiplicateur $CM = 1 - \frac{t}{100}$. La nouvelle valeur est $V' = V × CM$.
$$\text{Nouvelle valeur} = V × \left(1 - \frac{t}{100}\right)$$

Exemple résolu

Un magasin propose une remise de $20\%$ sur un article coûtant initialement $80$ €. Quel est le montant de la remise et le nouveau prix de l'article ?

1
Montant de la remise
La remise est de $20\%$ du prix initial. Montant de la remise $= 80 × \frac{20}{100} = 80 × 0,20 = 16$ €.
2
Nouveau prix de l'article (méthode 1)
Nouveau prix $=$ Prix initial $-$ Remise $= 80 - 16 = 64$ €.
3
Nouveau prix de l'article (méthode 2 avec coefficient multiplicateur)
Le coefficient multiplicateur pour une diminution de $20\%$ est $1 - \frac{20}{100} = 1 - 0,20 = 0,80$. Nouveau prix $= 80 × 0,80 = 64$ €.

Le montant de la remise est de $16$ € et le nouveau prix de l'article est de $64$ €.

⚠️ Confondre augmentation et diminution

  1. Il est crucial de bien identifier s'il s'agit d'une augmentation ou d'une diminution.
  2. Pour une augmentation, le coefficient multiplicateur est $1 + \frac{t}{100}$.
  3. Pour une diminution, il est $1 - \frac{t}{100}$.
  4. Utiliser le mauvais signe dans le coefficient ou de ne pas l'appliquer correctement.
  5. Par exemple, une augmentation de $20\%$ suivie d'une diminution de $20\%$ NE RAMÈNE PAS à la valeur initiale.

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Exercice type Brevet

Exercice : Gestion de stock

Une entreprise a un stock de $2500$ articles. Suite à une forte demande, elle décide d'augmenter son stock de $15\%$. Quelques semaines plus tard, elle doit réduire son stock de $10\%$ en raison d'une baisse des ventes.

  1. Combien d'articles l'entreprise a-t-elle après l'augmentation de $15\%$ ?
  2. Quel est le nombre final d'articles après la réduction de $10\%$ ?
  3. Quel est le pourcentage d'évolution global du stock par rapport au stock initial ?

Corrigé de l'exercice

  1. Nombre d'articles après l'augmentation de $15\%$ :
    Stock initial : $2500$ articles.
    Augmentation de $15\%$. Coefficient multiplicateur : $1 + \frac{15}{100} = 1 + 0,15 = 1,15$.
    Nouveau stock $= 2500 × 1,15 = 2875$ articles.
    L'entreprise a $2875$ articles après l'augmentation.
  2. Nombre final d'articles après la réduction de $10\%$ :
    Le stock de référence pour cette réduction est le stock après augmentation, soit $2875$ articles.
    Réduction de $10\%$. Coefficient multiplicateur : $1 - \frac{10}{100} = 1 - 0,10 = 0,90$.
    Stock final $= 2875 × 0,90 = 2587,5$ articles.
    Puisqu'on parle d'articles, on arrondit généralement à l'entier le plus proche ou on garde la valeur exacte si le contexte le permet. Ici, on peut considérer $2587,5$ ou $2588$ articles (si on ne peut pas avoir une fraction d'article). Pour les calculs de pourcentages, on garde la valeur exacte.
    Le nombre final d'articles est de $2587,5$.
  3. Pourcentage d'évolution global du stock :
    Stock initial : $2500$ articles.
    Stock final : $2587,5$ articles.
    Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs successifs : $CM_{global} = 1,15 × 0,90 = 1,035$.
    Pourcentage d'évolution global : $CM_{global} - 1 = 1,035 - 1 = 0,035$.
    En pourcentage : $0,035 × 100 = 3,5\%$.
    L'évolution globale du stock est une augmentation de $3,5\%$.
    On peut aussi calculer : $\frac{\text{Valeur finale} - \text{Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}} × 100 = \frac{2587,5 - 2500}{2500} × 100 = \frac{87,5}{2500} × 100 = 0,035 × 100 = 3,5\%$.

Questions fréquentes

Comment convertir un pourcentage en nombre décimal ?
Pour convertir un pourcentage en nombre décimal, il suffit de diviser le pourcentage par $100$. Par exemple, $25\%$ devient $\frac{25}{100} = 0,25$.
Pourquoi utilise-t-on $1 + \frac{t}{100}$ pour une augmentation ?
Quand on augmente une valeur $V$ de $t\%$, on ajoute à $V$ la quantité $V × \frac{t}{100}$. Donc, la nouvelle valeur est $V + V × \frac{t}{100}$. En factorisant $V$, on obtient $V × \left(1 + \frac{t}{100}\right)$. Le terme $\left(1 + \frac{t}{100}\right)$ est le coefficient multiplicateur.
Est-ce que $10\%$ d'augmentation puis $10\%$ de diminution annulent l'effet ?
Non, pas du tout ! Si une valeur est augmentée de $10\%$, puis le NOUVEAU résultat est diminué de $10\%$, le résultat final sera inférieur à la valeur initiale. Par exemple, $100$ € augmenté de $10\%$ donne $110$ €. Si on diminue $110$ € de $10\%$, on calcule $110 × (1 - 0,10) = 110 × 0,90 = 99$ €. On obtient $99$ €, pas $100$ €.
Quand utiliser la règle de trois pour les pourcentages ?
La règle de trois est utile pour trouver une valeur inconnue quand on connaît une relation de proportionnalité. Par exemple, si $X$ représente $100\%$ et que l'on cherche la valeur $Y$ qui représente $t\%$, on peut écrire :
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Valeur} & \text{Pourcentage} \\ \hline X & 100 \\ Y & t \\ \hline \end{array}$$
Alors $Y = \frac{X × t}{100}$.

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