Définition
Le coefficient de proportionnalité est un nombre qui permet de passer d'une grandeur à une autre dans une situation de proportionnalité. Si deux grandeurs $A$ et $B$ sont proportionnelles, alors il existe un nombre $k$ (le coefficient de proportionnalité) tel que $B = k × A$.
Autrement dit, pour obtenir les valeurs de la deuxième grandeur, on multiplie les valeurs de la première grandeur par ce coefficient $k$.
Inversement, pour obtenir les valeurs de la première grandeur à partir de la deuxième, on divise par ce même coefficient : $A = \frac{B}{k}$.
Méthode — Calculer un coefficient de proportionnalité
Étape 1 : Identifier la situation de proportionnalité
Assurez-vous que les deux grandeurs étudiées sont bien proportionnelles. Cela signifie que lorsque l'une des grandeurs est multipliée ou divisée par un nombre, l'autre grandeur est multipliée ou divisée par le même nombre. Un tableau de valeurs est proportionnel si on passe de la première ligne à la deuxième (ou inversement) en multipliant (ou divisant) toujours par le même nombre.
Étape 2 : Choisir une paire de valeurs correspondantes
Sélectionnez une colonne du tableau (ou une paire de données) où les deux valeurs sont connues et non nulles. Par exemple, si vous avez un tableau avec une ligne 'Quantité' et une ligne 'Prix', choisissez une colonne où vous connaissez à la fois la quantité et le prix correspondant.
Étape 3 : Calculer le rapport
Pour trouver le coefficient de proportionnalité $k$, divisez la valeur de la grandeur d'arrivée par la valeur de la grandeur de départ. Si vous voulez passer de la grandeur $A$ à la grandeur $B$, alors $k = \frac{B}{A}$.
Il est important de bien définir le sens du coefficient. Par exemple, si vous passez de la quantité au prix, le coefficient sera 'prix par unité'. Si vous passez du prix à la quantité, ce sera 'quantité par unité de prix'.
Étape 4 : Vérifier (facultatif mais recommandé)
Pour vous assurer que le coefficient est correct et que la situation est bien proportionnelle, appliquez ce coefficient à d'autres paires de valeurs du tableau. Si le résultat est cohérent, le coefficient est valide.
Exemple résolu
Considérons le tableau suivant qui représente le prix de pommes en fonction de leur masse :
Pour calculer le coefficient de proportionnalité permettant de passer de la masse au prix :
1. On choisit la première colonne : Masse $= 2$ kg, Prix $= 5$ €.
2. On calcule le rapport : $k = \frac{\text{Prix}}{\text{Masse}} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Le coefficient de proportionnalité est $2,5$. Cela signifie que le prix est $2,5$ € par kg.
Vérification :
- Pour $4$ kg : $4 × 2,5 = 10$ €. C'est correct.
- Pour $6$ kg : $6 × 2,5 = 15$ €. C'est correct.
Si on voulait le coefficient pour passer du prix à la masse, on ferait $k' = \frac{\text{Masse}}{\text{Prix}} = \frac{2}{5} = 0,4$. Cela signifie que pour $1$ €, on a $0,4$ kg de pommes.
⚠️ Confondre la grandeur de départ et la grandeur d'arrivée
- Le coefficient de proportionnalité dépend du sens dans lequel on l'utilise.
- Si on cherche à passer de $A$ à $B$, le coefficient est $\frac{B}{A}$.
- Si on cherche à passer de $B$ à $A$, le coefficient est $\frac{A}{B}$.
- Ces deux coefficients sont l'inverse l'un de l'autre.
- Il est crucial de bien identifier quelle grandeur est la 'source' et quelle est la 'destination' pour le calcul.
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Exercice type Brevet
Un cycliste parcourt une certaine distance en un temps donné. Le tableau ci-dessous montre quelques données :| Temps (heures) | Distance (km) |
|---|---|
| $2$ | $30$ |
| $3$ | $45$ |
| $5$ | $75$ |
| $x$ | $120$ |
1. Calculez le coefficient de proportionnalité permettant de passer du temps à la distance.
2. Utilisez ce coefficient pour trouver la valeur de $x$.
Coefficient $k = \frac{\text{Distance}}{\text{Temps}} = \frac{30}{2} = 15$.
Le coefficient de proportionnalité est $15$ km/h.
2. Pour trouver la valeur de $x$ :
On sait que Distance $= k × \text{Temps}$. Donc, $120 = 15 × x$.
Pour trouver $x$, on divise la distance par le coefficient : $x = \frac{120}{15} = 8$.
Donc, $x = 8$ heures.
Questions fréquentes
Comment savoir si deux grandeurs sont proportionnelles ?
Le coefficient de proportionnalité peut-il être négatif ?
Est-ce que $0$ peut être un coefficient de proportionnalité ?
Quel est le lien entre le coefficient de proportionnalité et la fonction linéaire ?
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