Nombres et Calculs · Fiche N°15 / 104

La racine carrée : définition et propriétés

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

La racine carrée d'un nombre réel positif $a$ est le nombre réel positif, noté $\sqrt{a}$, dont le carré est $a$.
Autrement dit, pour tout $a \geq 0$, $\sqrt{a} \geq 0$ et $(\sqrt{a})^2 = a$.
Par exemple, $\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$ et $3 \geq 0$.
Attention : la racine carrée n'est définie que pour les nombres positifs ou nuls. On ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif dans l'ensemble des nombres réels.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier si les nombres sous les racines peuvent être simplifiés avant d'effectuer des opérations.

Méthode — La racine carrée : définition et propriétés

1

Simplifier une racine carrée

Pour simplifier une racine carrée $\sqrt{a}$, on cherche à décomposer $a$ en un produit de facteurs dont au moins un est un carré parfait.
On utilise la propriété $\sqrt{a × b} = \sqrt{a} × \sqrt{b}$ pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$.
Exemple : $\sqrt{72} = \sqrt{36 × 2} = \sqrt{36} × \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

2

Opérations avec les racines carrées

  • Addition et Soustraction : On ne peut additionner ou soustraire des racines carrées que si elles portent sur le même nombre. On factorise alors par la racine carrée.
    Exemple : $3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
    Si les nombres sous la racine sont différents, on essaie de simplifier les racines avant d'additionner ou soustraire.
    Exemple : $\sqrt{12} + \sqrt{3} = \sqrt{4 × 3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
  • Multiplication : Pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$, $\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{a × b}$.
    Exemple : $\sqrt{2} × \sqrt{8} = \sqrt{2 × 8} = \sqrt{16} = 4$.
  • Division : Pour $a \geq 0$ et $b > 0$, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
    Exemple : $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$.

3

Rendre un dénominateur rationnel

Si une fraction a une racine carrée au dénominateur, il est souvent demandé de "rendre le dénominateur rationnel".
On multiplie le numérateur et le dénominateur par la racine carrée présente au dénominateur.
Exemple : $\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 × \sqrt{2}}{\sqrt{2} × \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Si le dénominateur est de la forme $a + \sqrt{b}$ ou $a - \sqrt{b}$, on multiplie par l'expression conjuguée.
Exemple : $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1 × (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) × (2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$.

Exemple résolu

Voici un tableau récapitulatif des propriétés des racines carrées pour des nombres $a \geq 0$ et $b \geq 0$ (avec $b > 0$ pour la division) :

1
$\sqrt{a^2}$
$a$ — Par définition de la racine carrée.
2
$(\sqrt{a})^2$
$a$ — Par définition de la racine carrée.
3
$\sqrt{a × b}$
$\sqrt{a} × \sqrt{b}$ — La racine d'un produit est le produit des racines.
4
$\sqrt{\frac{a}{b}}$
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ — La racine d'un quotient est le quotient des racines.
5
$\sqrt{a} + \sqrt{b}$
Ne se simplifie pas en $\sqrt{a+b}$ — Attention, $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Par exemple, $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, mais $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

Ces propriétés sont fondamentales pour manipuler et simplifier les expressions contenant des racines carrées.

⚠️ Erreurs courantes avec les racines carrées

  1. Racine d'une somme/différence : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ et $\sqrt{a-b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b}$. C'est une erreur très fréquente. Par exemple, $\sqrt{25} = 5$, mais $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.
  2. Racine d'un nombre négatif : La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans l'ensemble des nombres réels. $\sqrt{-4}$ n'est pas défini.
  3. Simplification incorrecte : Ne pas simplifier $\sqrt{a^2 b}$ en $a b$. C'est $a\sqrt{b}$.
  4. Oublier la condition de positivité : La définition de $\sqrt{a}$ implique que $a \geq 0$.

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Exercice type Brevet

Simplifie les expressions suivantes :
  1. $\sqrt{50}$
  2. $3\sqrt{2} + \sqrt{18}$
  3. $\sqrt{3} × \sqrt{27}$
  4. $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$
  5. Rends le dénominateur rationnel : $\frac{5}{\sqrt{7}}$
  6. Rends le dénominateur rationnel : $\frac{1}{3 - \sqrt{2}}$
  1. $\sqrt{50} = \sqrt{25 × 2} = \sqrt{25} × \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
  2. $3\sqrt{2} + \sqrt{18} = 3\sqrt{2} + \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2} + \sqrt{9} × \sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (3+3)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
  3. $\sqrt{3} × \sqrt{27} = \sqrt{3 × 27} = \sqrt{81} = 9$
  4. $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$
  5. $\frac{5}{\sqrt{7}} = \frac{5 × \sqrt{7}}{\sqrt{7} × \sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{7}$
  6. $\frac{1}{3 - \sqrt{2}} = \frac{1 × (3 + \sqrt{2})}{(3 - \sqrt{2}) × (3 + \sqrt{2})} = \frac{3 + \sqrt{2}}{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{3 + \sqrt{2}}{9 - 2} = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}$

Questions fréquentes

Peut-on avoir une racine carrée négative ?
Non, par définition, la racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif dont le carré est $a$. Par exemple, $\sqrt{9}=3$, et non $-3$, même si $(-3)^2=9$.
Comment savoir si un nombre est un carré parfait ?
Un carré parfait est un nombre entier qui est le carré d'un autre nombre entier ($1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...$). Pour les grands nombres, on peut essayer de les diviser par ces carrés parfaits pour voir s'ils se simplifient.
Pourquoi doit-on rendre le dénominateur rationnel ?
Historiquement, il était plus facile de faire des calculs à la main sans racine au dénominateur. Aujourd'hui, c'est surtout une convention mathématique pour présenter les résultats de manière "plus simple" ou "plus propre".
Est-ce que $\sqrt{a^2} = a$ ?
Non, pas toujours. $\sqrt{a^2} = |a|$ (valeur absolue de $a$). Si $a$ est positif, alors $\sqrt{a^2} = a$. Si $a$ est négatif, par exemple $a = -3$, alors $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$, qui est $|-3|$. En 3ème, on travaille souvent avec des $a \geq 0$, donc cette distinction est parfois omise, mais il est important de la connaître.

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