Définition
Une situation est dite de proportionnalité si deux grandeurs sont liées de telle sorte que l'on passe de l'une à l'autre en multipliant (ou en divisant) toujours par le même nombre. Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.
Si $y$ est proportionnel à $x$, alors il existe un nombre $k$ (le coefficient de proportionnalité) tel que $y = k × x$.
Graphiquement, une situation de proportionnalité est représentée par des points alignés avec l'origine du repère.
Méthode — Reconnaître une situation de proportionnalité
Vérifier la présence d'un coefficient multiplicateur constant
Pour chaque paire de valeurs $(x, y)$ des deux grandeurs, calculez le rapport $\frac{y}{x}$ (si $x \neq 0$). Si ce rapport est constant pour toutes les paires, alors il s'agit d'une situation de proportionnalité. Ce rapport est le coefficient de proportionnalité.
Vérifier la relation $y = k × x$
Si vous identifiez un coefficient $k$, testez si pour toutes les valeurs $x$, la relation $y = k × x$ est vérifiée avec la valeur $y$ correspondante. Si c'est le cas, la situation est proportionnelle.
Analyse graphique
Si les données sont représentées graphiquement dans un repère, vérifiez si les points sont alignés et si cette droite passe par l'origine $(0,0)$. Si ces deux conditions sont remplies, la situation est de proportionnalité.
Exemple résolu
Considérons les situations suivantes et déterminons si elles relèvent de la proportionnalité.
Il est crucial de vérifier la constance du rapport ou la validité de la formule $y = k × x$ pour toutes les données fournies. Une seule exception suffit à invalider la proportionnalité.
⚠️ Confusion avec une relation affine
- Une relation affine est de la forme $y = ax + b$.
- Si $b \neq 0$, alors la situation n'est PAS de proportionnalité, même si les points sont alignés.
- Pour qu'il y ait proportionnalité, la droite doit impérativement passer par l'origine $(0,0)$.
- Par exemple, le prix d'un taxi avec une prise en charge fixe ($b$) et un coût par kilomètre ($a$) n'est pas proportionnel au nombre de kilomètres parcourus.
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Exercice type Brevet
Déterminez si les situations suivantes sont des situations de proportionnalité. Justifiez votre réponse.1. Un boulanger vend des baguettes : $1$ baguette pour $1,10€$, $2$ baguettes pour $2,20€$, $5$ baguettes pour $5,50€$.
2. La taille d'un enfant en fonction de son âge : à $3$ ans, $90$ cm ; à $6$ ans, $115$ cm.
3. Le prix d'un abonnement téléphonique : $10€$ de forfait fixe plus $0,05€$ par minute consommée.
4. Le nombre de tours de roue d'un vélo et la distance parcourue, sachant qu'un tour correspond à $2$ mètres.
2. Non. Le rapport $\frac{\text{Taille}}{\text{Âge}}$ n'est pas constant : $\frac{90}{3} = 30$, mais $\frac{115}{6} \approx 19,17$. De plus, à $0$ an, la taille n'est pas $0$.
3. Non. La relation est de la forme $P = 0,05 × M + 10$ (où $P$ est le prix et $M$ le nombre de minutes). C'est une relation affine, mais pas de proportionnalité car il y a un terme constant ($10€$) qui fait que la droite ne passe pas par l'origine.
4. Oui. La distance parcourue $D$ est égale au nombre de tours $T$ multiplié par $2$ mètres : $D = 2 × T$. Le coefficient de proportionnalité est $2$. Si $T=0$, $D=0$.
Questions fréquentes
Comment savoir si un tableau de valeurs représente une situation de proportionnalité ?
Une situation de proportionnalité peut-elle avoir un coefficient négatif ?
Est-ce que toutes les relations linéaires sont des situations de proportionnalité ?
Qu'est-ce qu'un produit en croix et quel est son lien avec la proportionnalité ?
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