Résoudre une inéquation du premier degré – Fiche Brevet Maths

Q: Quelle est la différence entre une équation et une inéquation ?

Une équation cherche une valeur exacte de la variable qui rend l'égalité vraie (par exemple, $x=5$). Une inéquation cherche un ensemble de valeurs (un intervalle) qui rendent l'inégalité vraie (par exemple, $x , \leq, \geq$' pour les inéquations.

Définition

Une inéquation du premier degré est une inégalité mathématique qui contient une variable (souvent $x$) dont la puissance la plus élevée est $1$. Elle peut s'écrire sous l'une des formes suivantes : $ax + b < 0$, $ax + b > 0$, $ax + b \leq 0$, ou $ax + b \geq 0$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels et $a \neq 0$.

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de la variable qui rendent l'inégalité vraie. L'ensemble des solutions est souvent un intervalle.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier le signe du nombre par lequel tu multiplies ou divises pour savoir si tu dois inverser le sens de l'inégalité.

Méthode — Résoudre une inéquation du premier degré

Isoler le terme en $x$

Comme pour une équation, on commence par regrouper tous les termes contenant la variable $x$ d'un côté de l'inégalité et tous les termes constants de l'autre côté. Pour cela, on peut ajouter ou soustraire la même quantité aux deux membres de l'inégalité. L'inégalité reste inchangée.

Diviser par le coefficient de $x$

Une fois que l'inéquation est de la forme $ax \text{ signe } b'$, on divise les deux membres par le coefficient $a$.
Attention : Si $a$ est positif, le sens de l'inégalité ne change pas. Si $a$ est négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.

Écrire l'ensemble des solutions

L'ensemble des solutions peut être écrit sous forme d'inégalité, d'intervalle ou représenté sur une droite numérique.

Pour $x < k$ ou $x > k$, l'intervalle est ouvert (parenthèses) et le crochet ne contient pas $k$.
Pour $x \leq k$ ou $x \geq k$, l'intervalle est fermé (crochets) et le crochet contient $k$.

Exemple résolu

Résolvons l'inéquation suivante : $3x - 5 \geq x + 7$

Étape 1 : Isoler le terme en $x$

$3x - x \geq 7 + 5 \Rightarrow 2x \geq 12$

Étape 2 : Diviser par le coefficient de $x$

On divise par $2$ (qui est positif), donc le sens de l'inégalité ne change pas : $\frac{2x}{2} \geq \frac{12}{2} \Rightarrow x \geq 6$

Étape 3 : Écrire l'ensemble des solutions

L'ensemble des solutions est tous les nombres réels $x$ tels que $x \geq 6$. En notation d'intervalle, cela s'écrit $[6; +\infty[$. Sur une droite numérique, on hachure la partie à gauche de $6$ et on met un crochet tourné vers la droite sur $6$.

La solution de l'inéquation $3x - 5 \geq x + 7$ est $x \geq 6$, ou l'intervalle $[6; +\infty[$.

⚠️ L'erreur classique : l'inversion du sens de l'inégalité

Le piège le plus courant est d'oublier d'inverser le sens de l'inégalité lorsqu'on multiplie ou divise par un nombre négatif.
Par exemple, si vous avez $-2x < 6$, et que vous divisez par $-2$, l'inégalité devient $x > -3$ (le signe 'moins que' devient 'plus que').

Pack Brevet Maths

Reçois 3 fiches gratuites pour préparer le Brevet

Les 3 fiches les plus importantes du programme de 3ème, en PDF prêt à imprimer. Offertes par Adil.

Pas de spam. Désinscription en un clic.

Exercice type Brevet

Résolvez les inéquations suivantes et donnez l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle :
1. $5x + 3 < 18$
2. $2 - 4x \leq 10$
3. $7x - 1 \geq 3x + 11$
4. $-x + 4 > 2x - 5$

1. $5x + 3 < 18$
$5x < 18 - 3$
$5x < 15$
$x < \frac{15}{5}$
$x < 3$
Solution : $]-\infty; 3[$

2. $2 - 4x \leq 10$
$-4x \leq 10 - 2$
$-4x \leq 8$
$x \geq \frac{8}{-4}$ (On divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité)
$x \geq -2$
Solution : $[-2; +\infty[$

3. $7x - 1 \geq 3x + 11$
$7x - 3x \geq 11 + 1$
$4x \geq 12$
$x \geq \frac{12}{4}$
$x \geq 3$
Solution : $[3; +\infty[$

4. $-x + 4 > 2x - 5$
$-x - 2x > -5 - 4$
$-3x > -9$
$x < \frac{-9}{-3}$ (On divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité)
$x < 3$
Solution : $]-\infty; 3[$

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une équation et une inéquation ?

Une équation cherche une valeur exacte de la variable qui rend l'égalité vraie (par exemple, $x=5$). Une inéquation cherche un ensemble de valeurs (un intervalle) qui rendent l'inégalité vraie (par exemple, $x < 5$ ou $x \geq 2$). Le symbole '=' est utilisé pour les équations, et les symboles '$<, >, \leq, \geq$' pour les inéquations.

Comment représenter les solutions sur une droite numérique ?

On trace une droite graduée. On place la valeur limite. Si l'inégalité est stricte ($<$ ou $>$), on utilise un cercle vide ou un crochet tourné vers l'extérieur de l'intervalle. Si l'inégalité est large ($\leq$ ou $\geq$), on utilise un cercle plein ou un crochet tourné vers l'intérieur de l'intervalle. On hachure ensuite la partie de la droite qui correspond aux solutions.

Pourquoi doit-on inverser le sens de l'inégalité en divisant par un nombre négatif ?

Considérons l'inégalité $2 < 5$. Si on multiplie par $-1$, on obtient $-2$ et $-5$. Or, $-2 > -5$. Le sens de l'inégalité a changé. C'est la même logique pour la division : multiplier ou diviser par un nombre négatif 'inverse' l'ordre des nombres sur la droite numérique.

Peut-on avoir des inéquations sans solution ou avec toutes les solutions ?

Oui. Par exemple, $x + 1 < x$ n'a pas de solution car $1 < 0$ est faux. L'ensemble des solutions est l'ensemble vide $\emptyset$. Inversement, $x + 1 > x$ a pour solution $1 > 0$, ce qui est toujours vrai. L'ensemble des solutions est alors tous les nombres réels $\mathbb{R}$.

Pour aller plus loin

Votre enfant bloque sur ce chapitre ?

Adil explique la méthode en 1 séance. Cours en ligne disponibles partout en France à 20€/h.

📞 Être rappelé gratuitement Avance Immédiate →