Nombres et Calculs · Fiche N°21 / 104

L'identité remarquable (a-b)²

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

L'identité remarquable $(a-b)^2$ est une formule de développement qui permet de transformer une expression de la forme $(a-b)^2$ en un polynôme. Elle se définit comme suit : $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ Cette formule est très utile pour développer rapidement des expressions, factoriser certains polynômes ou résoudre des équations.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier le signe du double produit et ne pas oublier les carrés des deux termes.

Méthode — L'identité remarquable (a-b)²

1

Identifier $a$ et $b$

Dans l'expression à développer, identifiez clairement ce qui joue le rôle de $a$ et ce qui joue le rôle de $b$. Attention au signe moins : le $b$ est la partie qui est soustraite.

2

Appliquer la formule

Une fois $a$ et $b$ identifiés, substituez-les dans la formule $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. N'oubliez pas les parenthèses si $a$ ou $b$ sont des expressions complexes (ex: $3x$, $2y^2$). Le terme $2ab$ est toujours négatif.

3

Simplifier l'expression

Développez les carrés ($a^2$ et $b^2$) et effectuez la multiplication du terme $2ab$. Regroupez les termes similaires si nécessaire pour obtenir la forme la plus simple du polynôme.

Exemple résolu

Développons l'expression $(2x-3)^2$ en utilisant l'identité remarquable $(a-b)^2$.

1
Identifier $a$ et $b$
Ici, $a = 2x$ et $b = 3$. Le signe moins est déjà pris en compte par la formule.
2
Appliquer la formule $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
On remplace : $(2x-3)^2 = (2x)^2 - 2 × (2x) × 3 + 3^2$
3
Simplifier l'expression
On calcule : $(2x)^2 = 4x^2$, $2 × (2x) × 3 = 12x$, $3^2 = 9$. Donc, $(2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$.

Le développement de $(2x-3)^2$ est $4x^2 - 12x + 9$.

⚠️ Erreur de signe et oubli du double produit

  1. Le piège le plus courant est d'oublier le terme du milieu $-2ab$ ou de faire une erreur de signe.
  2. Les élèves écrivent $(a-b)^2 = a^2 - b^2$ ou $(a-b)^2 = a^2 + b^2$.
  3. Ces deux expressions sont incorrectes.
  4. N'oubliez jamais le double produit et son signe négatif ! De même, $(a-b)^2$ n'est PAS égal à $a^2 - b^2$.
  5. C'est une autre identité remarquable : $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

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Exercice type Brevet

Développez les expressions suivantes en utilisant l'identité remarquable $(a-b)^2$ :
1. $(x-5)^2$
2. $(4-y)^2$
3. $(3x-2)^2$
4. $(5a-4b)^2$
5. $(x^2-1)^2$
1. $(x-5)^2 = x^2 - 2 × x × 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$
2. $(4-y)^2 = 4^2 - 2 × 4 × y + y^2 = 16 - 8y + y^2$
3. $(3x-2)^2 = (3x)^2 - 2 × (3x) × 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$
4. $(5a-4b)^2 = (5a)^2 - 2 × (5a) × (4b) + (4b)^2 = 25a^2 - 40ab + 16b^2$
5. $(x^2-1)^2 = (x^2)^2 - 2 × x^2 × 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

Questions fréquentes

Est-ce que $(b-a)^2$ est égal à $(a-b)^2$ ?
Oui, absolument ! $(b-a)^2 = b^2 - 2ba + a^2$. Comme la multiplication est commutative ($ba = ab$) et l'addition est commutative ($b^2 + a^2 = a^2 + b^2$), on a bien $(b-a)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. En fait, $(b-a) = -(a-b)$, donc $(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (-1)^2 (a-b)^2 = 1 × (a-b)^2 = (a-b)^2$.
Comment reconnaître quand utiliser cette identité remarquable ?
Vous l'utilisez chaque fois que vous avez une expression de la forme (quelque chose moins quelque chose d'autre) au carré. C'est-à-dire, une soustraction entre deux termes, le tout élevé à la puissance 2.
Peut-on l'utiliser pour factoriser ?
Oui ! Si vous avez une expression de la forme $a^2 - 2ab + b^2$, vous pouvez la factoriser en $(a-b)^2$. C'est le processus inverse du développement. Par exemple, $9x^2 - 30x + 25 = (3x)^2 - 2 × (3x) × 5 + 5^2 = (3x-5)^2$.
Y a-t-il d'autres identités remarquables ?
Oui, il y en a deux autres principales à connaître au collège : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ et $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Ces trois formules sont fondamentales en algèbre.

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