Nombres et Calculs · Fiche N°28 / 104

Représenter les solutions d'une inéquation

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

Représenter les solutions d'une inéquation sur une droite numérique consiste à visualiser l'ensemble de tous les nombres réels qui vérifient cette inéquation.
Pour cela, on utilise une droite graduée, en marquant un point correspondant à la valeur limite et en hachurant la partie de la droite qui contient les solutions.
Le sens du crochet (ou du symbole) au niveau de la valeur limite indique si cette valeur est incluse ou exclue de l'ensemble des solutions :

  • Crochet tourné vers l'intérieur (ou point plein) : la valeur est incluse (inégalités $\leq$ ou $\geq$).
  • Crochet tourné vers l'extérieur (ou point vide) : la valeur est exclue (inégalités $<$ ou $>$).

Solutions de l'inequation sur la droite graduee
💡 Bon réflexe : Toujours résoudre l'inéquation avant de la représenter et vérifier le sens de l'inégalité pour le crochet et la zone hachurée.

Méthode — Représenter les solutions d'une inéquation

1

Résoudre l'inéquation

La première étape est de résoudre l'inéquation pour trouver l'ensemble des valeurs de la variable qui la satisfont. Par exemple, si l'inéquation est $2x + 3 < 7$, on la résout pour obtenir $x < 2$.

2

Tracer la droite numérique

Dessinez une droite graduée. Il est souvent utile de placer le zéro et quelques valeurs positives et négatives pour bien se repérer. La valeur limite de l'inéquation (par exemple, $2$ pour $x < 2$) doit être clairement indiquée sur cette droite.

3

Placer la valeur limite et le crochet

Placez un marqueur (un point ou un crochet) sur la droite numérique à l'endroit de la valeur limite trouvée. Le type de marqueur dépend de l'inégalité :

  • Si l'inégalité est stricte ($<$ ou $>$), la valeur limite n'est pas incluse dans les solutions. On utilise un crochet tourné vers l'extérieur de la zone des solutions ou un cercle vide.
  • Si l'inégalité est large ($\leq$ ou $\geq$), la valeur limite est incluse dans les solutions. On utilise un crochet tourné vers l'intérieur de la zone des solutions ou un cercle plein.

4

Hachurer l'ensemble des solutions

Hachurez la partie de la droite numérique qui correspond aux solutions de l'inéquation.

  • Pour $x < a$ ou $x \leq a$, hachurez la partie gauche de la valeur $a$.
  • Pour $x > a$ ou $x \geq a$, hachurez la partie droite de la valeur $a$.

Exemple résolu

Représentons les solutions des inéquations suivantes sur une droite numérique.

1
$x > 3$
La valeur $3$ est exclue (crochet tourné vers l'extérieur). La zone hachurée est à droite de $3$.
2
$x \leq -1$
La valeur $-1$ est incluse (crochet tourné vers l'intérieur). La zone hachurée est à gauche de $-1$.
3
$2x - 4 \geq 0$
On résout l'inéquation : $2x \geq 4 \implies x \geq 2$. La valeur $2$ est incluse (crochet tourné vers l'intérieur). La zone hachurée est à droite de $2$.
4
$-3x + 6 < 0$
On résout l'inéquation : $-3x < -6 \implies x > 2$ (attention au changement de sens de l'inégalité lors de la division par un nombre négatif). La valeur $2$ est exclue (crochet tourné vers l'extérieur). La zone hachurée est à droite de $2$.

Ces exemples montrent comment le sens de l'inégalité et le fait que la valeur limite soit incluse ou exclue déterminent la représentation graphique sur la droite numérique.

⚠️ Erreur de sens du crochet ou de la zone hachurée

  1. Inverser le sens du crochet ou de hachurer la mauvaise partie de la droite.
  2. Rappelez-vous : $<$ et $>$ impliquent un crochet tourné vers l'extérieur (valeur exclue).
  3. Rappelez-vous : $\leq$ et $\geq$ impliquent un crochet tourné vers l'intérieur (valeur incluse).
  4. Si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif lors de la résolution de l'inéquation, n'oubliez pas de changer le sens de l'inégalité ! Par exemple, $-2x < 4$ devient $x > -2$.

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Exercice type Brevet

Résolvez les inéquations suivantes et représentez leurs solutions sur une droite numérique.
  1. $x - 5 \geq -2$
  2. $3x + 1 < 10$
  3. $-x + 4 \leq 1$
  4. $\frac{x}{2} + 3 > 2$
  1. $x - 5 \geq -2 \implies x \geq -2 + 5 \implies x \geq 3$.
    Sur la droite numérique, on place un crochet fermé (tourné vers la droite) en $3$ et on hachure la partie droite de $3$.
  2. $3x + 1 < 10 \implies 3x < 10 - 1 \implies 3x < 9 \implies x < 3$.
    Sur la droite numérique, on place un crochet ouvert (tourné vers la gauche) en $3$ et on hachure la partie gauche de $3$.
  3. $-x + 4 \leq 1 \implies -x \leq 1 - 4 \implies -x \leq -3 \implies x \geq 3$ (changement de sens de l'inégalité).
    Sur la droite numérique, on place un crochet fermé (tourné vers la droite) en $3$ et on hachure la partie droite de $3$.
  4. $\frac{x}{2} + 3 > 2 \implies \frac{x}{2} > 2 - 3 \implies \frac{x}{2} > -1 \implies x > -2$.
    Sur la droite numérique, on place un crochet ouvert (tourné vers la droite) en $-2$ et on hachure la partie droite de $-2$.

Questions fréquentes

Comment savoir si le crochet est ouvert ou fermé ?
Le crochet est fermé (tourné vers l'intérieur de la zone hachurée) si l'inégalité inclut la valeur limite ($\leq$ ou $\geq$). Il est ouvert (tourné vers l'extérieur de la zone hachurée) si l'inégalité est stricte ($<$ ou $>$).
Que se passe-t-il si je multiplie ou divise par un nombre négatif ?
Si vous multipliez ou divisez les deux côtés d'une inéquation par un nombre négatif, vous devez impérativement inverser le sens de l'inégalité. Par exemple, si vous avez $-2x < 6$, en divisant par $-2$, cela devient $x > -3$.
Est-ce que la position du zéro est importante sur la droite numérique ?
Oui, le zéro est un repère important. Il aide à situer les nombres positifs et négatifs. Assurez-vous que la graduation est cohérente et que la valeur limite est bien placée par rapport au zéro.
Peut-on représenter des inéquations avec deux inégalités (par exemple $1 < x \leq 5$) ?
Oui, pour une double inégalité comme $1 < x \leq 5$, on hachure la zone entre $1$ et $5$. En $1$, le crochet sera ouvert (tourné vers l'extérieur de la zone hachurée), et en $5$, il sera fermé (tourné vers l'intérieur de la zone hachurée).

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