Statistiques et Probabilités · Fiche N°95 / 104

Événement contraire et probabilité

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

L'événement contraire d'un événement $A$, noté $\overline{A}$ (ou parfois $A^c$), est l'événement qui se réalise si et seulement si $A$ ne se réalise pas. En d'autres termes, $\overline{A}$ contient tous les résultats possibles de l'expérience qui ne sont pas dans $A$.

La probabilité d'un événement est un nombre compris entre $0$ et $1$ (ou entre $0\%$ et $100\%$) qui mesure la "chance" que cet événement se produise. La probabilité d'un événement $A$ est notée $P(A)$.

La relation fondamentale entre la probabilité d'un événement $A$ et la probabilité de son événement contraire $\overline{A}$ est la suivante : $$P(A) + P(\overline{A}) = 1$$ Ce qui peut aussi s'écrire : $$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$ ou $$P(A) = 1 - P(\overline{A})$$

P(A) + P(contraire de A) = 1
💡 Bon réflexe : Quand un événement est difficile à calculer, pense à son contraire : il est peut-être plus simple !

Méthode — Événement contraire et probabilité

1

1. Identifier l'événement $A$

Définissez clairement l'événement $A$ dont vous cherchez la probabilité ou dont vous connaissez la probabilité. Par exemple, "obtenir un nombre pair" en lançant un dé.

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2. Définir l'événement contraire $\overline{A}$

Formulez l'événement contraire $\overline{A}$. C'est tout ce qui n'est pas $A$. Si $A$ est "obtenir un nombre pair", alors $\overline{A}$ est "ne pas obtenir un nombre pair", c'est-à-dire "obtenir un nombre impair".

3

3. Calculer la probabilité la plus simple

Déterminez quelle probabilité est la plus facile à calculer : $P(A)$ ou $P(\overline{A})$. Parfois, il est plus simple de calculer la probabilité de l'événement contraire, surtout si l'événement $A$ regroupe de nombreux cas.

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4. Appliquer la formule

Utilisez la formule $P(A) = 1 - P(\overline{A})$ ou $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ pour trouver la probabilité recherchée.

Exemple résolu

On lance un dé à six faces équilibré. Soit $A$ l'événement "obtenir un nombre supérieur ou égal à $3$".

1
Identifier l'événement $A$
$A$ = "obtenir un nombre supérieur ou égal à $3$". Les issues favorables sont $\{3, 4, 5, 6\}$.
2
Définir l'événement contraire $\overline{A}$
$\overline{A}$ = "ne pas obtenir un nombre supérieur ou égal à $3$", c'est-à-dire "obtenir un nombre strictement inférieur à $3$". Les issues favorables sont $\{1, 2\}$.
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Calculer la probabilité la plus simple
Il est plus simple de calculer $P(\overline{A})$ car il y a moins d'issues favorables. Il y a $2$ issues favorables pour $\overline{A}$ sur un total de $6$ issues possibles. Donc $P(\overline{A}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
4
Appliquer la formule
On utilise $P(A) = 1 - P(\overline{A})$.
$P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

La probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à $3$ est de $\frac{2}{3}$. On aurait pu aussi calculer $P(A)$ directement : il y a $4$ issues favorables pour $A$ sur $6$ issues possibles, donc $P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Dans ce cas, les deux méthodes étaient simples, mais l'approche par l'événement contraire est particulièrement utile quand l'événement $A$ a beaucoup d'issues et $\overline{A}$ en a peu.

⚠️ Confondre "non $A$" avec un autre événement

  1. L'événement contraire $\overline{A}$ doit inclure toutes les issues qui ne sont pas dans $A$.
  2. Par exemple, si $A$ est "obtenir un nombre pair" en lançant un dé, $\overline{A}$ n'est pas "obtenir $1$" ou "obtenir $3$", mais "obtenir un nombre impair" (c'est-à-dire $1, 3, 5$).
  3. Ne pas oublier que $P(A) + P(\overline{A}) = 1$ est une relation fondamentale qui doit toujours être vérifiée.

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Exercice type Brevet

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $4$ boules rouges, $3$ boules bleues et $3$ boules vertes. On tire une boule au hasard.

1. Soit $R$ l'événement "tirer une boule rouge". Quelle est la probabilité $P(R)$ ?
2. Décrire l'événement $\overline{R}$ (l'événement contraire de $R$).
3. Calculer la probabilité $P(\overline{R})$ en utilisant la formule de l'événement contraire.
4. Calculer $P(\overline{R})$ directement en comptant les issues favorables.
1. Il y a $4$ boules rouges sur un total de $10$ boules. Donc $P(R) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

2. L'événement $\overline{R}$ est "ne pas tirer une boule rouge", c'est-à-dire "tirer une boule bleue ou une boule verte".

3. En utilisant la formule : $P(\overline{R}) = 1 - P(R) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

4. Directement : Il y a $3$ boules bleues et $3$ boules vertes, soit $3+3=6$ boules qui ne sont pas rouges. Donc $P(\overline{R}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Les deux méthodes donnent le même résultat, ce qui confirme la validité de la formule.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un événement certain et un événement impossible ?
Un événement certain est un événement qui se réalise toujours. Sa probabilité est $1$ (ou $100\%$). Son contraire est l'événement impossible, qui ne se réalise jamais, et sa probabilité est $0$. Par exemple, "obtenir un nombre inférieur à $7$" en lançant un dé à $6$ faces est un événement certain.
Pourquoi la somme des probabilités d'un événement et de son contraire est-elle $1$ ?
Parce qu'un événement et son contraire couvrent toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire sans aucun chevauchement. Soit l'événement $A$ se réalise, soit il ne se réalise pas (c'est-à-dire que $\overline{A}$ se réalise). Il n'y a pas d'autre possibilité, et les deux ne peuvent pas se réaliser en même temps. Donc, la somme de leurs probabilités doit être égale à la probabilité de l'événement certain, qui est $1$.
Est-ce que $P(A) = 1 - P(\overline{A})$ est toujours vraie ?
Oui, cette relation est une propriété fondamentale des probabilités et est toujours vraie pour tout événement $A$ dans un univers de probabilité donné.
Quand est-il plus utile d'utiliser l'événement contraire ?
Il est particulièrement utile d'utiliser l'événement contraire lorsque l'événement $A$ lui-même est complexe ou regroupe un grand nombre d'issues, tandis que son contraire $\overline{A}$ est plus simple à définir et à calculer. Par exemple, "obtenir au moins un $6$" en lançant plusieurs dés est souvent plus facile à calculer en passant par son contraire "n'obtenir aucun $6$".

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