Statistiques et Probabilités · Fiche N°94 / 104

Calculer une probabilité simple

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

La probabilité d'un événement est une mesure de sa chance de se produire. Elle est toujours un nombre compris entre $0$ et $1$ (ou entre $0 \%$ et $100 \%$).
Pour un événement $A$, la probabilité est notée $P(A)$.
Si tous les événements élémentaires ont la même chance de se produire (situation d'équiprobabilité), la probabilité d'un événement $A$ est donnée par la formule :
$$P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables à } A}{\text{Nombre total de cas possibles}}$$Un événement certain a une probabilité de $1$ (ou $100 \%$).
Un événement impossible a une probabilité de $0$ (ou $0 \%$).

Probabilites d'une experience aleatoire
💡 Bon réflexe : Toujours lister les cas possibles et les cas favorables avant de calculer la probabilité. Simplifiez la fraction si possible.

Méthode — Calculer une probabilité simple

1

Identifier l'expérience aléatoire et les issues possibles

Déterminez toutes les issues (résultats) que l'expérience peut produire. C'est l'ensemble des cas possibles.

2

Vérifier l'équiprobabilité

Assurez-vous que chaque issue a la même chance de se produire. Si ce n'est pas le cas, la formule simple ne s'applique pas directement (il faut alors utiliser des probabilités pondérées, ce qui est généralement hors programme pour une probabilité simple au Brevet).

3

Déterminer les cas favorables

Identifiez parmi toutes les issues possibles, celles qui correspondent à l'événement dont vous voulez calculer la probabilité.

4

Appliquer la formule

Utilisez la formule $P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre total de cas possibles}}$. Simplifiez la fraction si possible.

Exemple résolu

On lance un dé à six faces équilibré, numéroté de $1$ à $6$. Calculons la probabilité de différents événements.

1
Obtenir un $4$
Cas possibles : $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, soit $6$ issues. Cas favorables (obtenir un $4$) : $\{4\}$, soit $1$ issue. $P(\text{obtenir un } 4) = \frac{1}{6}$.
2
Obtenir un nombre pair
Cas possibles : $6$ issues. Cas favorables (nombres pairs) : $\{2, 4, 6\}$, soit $3$ issues. $P(\text{obtenir un nombre pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
3
Obtenir un nombre supérieur à $6$
Cas possibles : $6$ issues. Cas favorables (nombres supérieurs à $6$) : aucune issue. $P(\text{obtenir un nombre supérieur à } 6) = \frac{0}{6} = 0$. C'est un événement impossible.
4
Obtenir un nombre inférieur à $7$
Cas possibles : $6$ issues. Cas favorables (nombres inférieurs à $7$) : $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, soit $6$ issues. $P(\text{obtenir un nombre inférieur à } 7) = \frac{6}{6} = 1$. C'est un événement certain.

Les probabilités obtenues sont bien comprises entre $0$ et $1$. Elles peuvent être exprimées en fraction, en décimal ou en pourcentage (par exemple, $\frac{1}{2} = 0,5 = 50 \%$).

⚠️ Ne pas identifier correctement tous les cas possibles ou favorables

  1. Il est crucial de lister exhaustivement toutes les issues de l'expérience aléatoire et de ne pas en oublier.
  2. De même, assurez-vous d'identifier précisément toutes les issues qui correspondent à l'événement étudié.
  3. Un oubli ou une erreur de comptage faussera le résultat.
  4. Par exemple, si on tire une carte d'un jeu de $32$ cartes, il y a $32$ cas possibles, pas seulement $4$ (les couleurs).

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Exercice type Brevet

Dans une urne, il y a $5$ boules rouges, $3$ boules bleues et $2$ boules vertes, toutes indiscernables au toucher.
On tire une boule au hasard.
  1. Quel est le nombre total de boules dans l'urne ?
  2. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
  3. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ?
  4. Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ?
  5. Quelle est la probabilité de tirer une boule qui n'est pas rouge ?
  1. Le nombre total de boules dans l'urne est $5 + 3 + 2 = 10$ boules. C'est le nombre total de cas possibles.
  2. Pour tirer une boule rouge, il y a $5$ cas favorables (les $5$ boules rouges).
    $$P(\text{tirer une boule rouge}) = \frac{\text{Nombre de boules rouges}}{\text{Nombre total de boules}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$
  3. Pour tirer une boule bleue, il y a $3$ cas favorables (les $3$ boules bleues).
    $$P(\text{tirer une boule bleue}) = \frac{\text{Nombre de boules bleues}}{\text{Nombre total de boules}} = \frac{3}{10}$$
  4. Pour tirer une boule verte, il y a $2$ cas favorables (les $2$ boules vertes).
    $$P(\text{tirer une boule verte}) = \frac{\text{Nombre de boules vertes}}{\text{Nombre total de boules}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$
  5. Tirer une boule qui n'est pas rouge signifie tirer une boule bleue ou une boule verte. Le nombre de cas favorables est $3$ (bleues) $+ 2$ (vertes) $= 5$.
    $$P(\text{tirer une boule non rouge}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$On peut aussi calculer cette probabilité comme $1 - P(\text{tirer une boule rouge}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une expérience aléatoire ?
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, même si l'on connaît toutes les issues possibles. Par exemple, lancer un dé, tirer une carte, ou choisir une personne au hasard.
Qu'est-ce que l'équiprobabilité ?
L'équiprobabilité signifie que chaque issue possible d'une expérience aléatoire a la même chance de se produire. C'est une condition essentielle pour utiliser la formule simple de la probabilité (cas favorables / cas possibles). Par exemple, un dé "équilibré" ou des boules "indiscernables au toucher" impliquent l'équiprobabilité.
Comment exprimer une probabilité ?
Une probabilité peut être exprimée sous forme de fraction irréductible (ex: $\frac{1}{2}$), de nombre décimal (ex: $0,5$), ou de pourcentage (ex: $50 \%$). La forme fractionnaire est souvent préférée car elle est exacte.
La somme des probabilités de tous les événements possibles est-elle toujours $1$ ?
Oui, la somme des probabilités de tous les événements élémentaires (ou de tous les événements formant une partition de l'univers) est toujours égale à $1$ (ou $100 \%$). Cela signifie qu'il est certain qu'un des événements se produira.

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