Statistiques et Probabilités · Fiche N°93 / 104

Notion de probabilité : vocabulaire

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

La probabilité est une branche des mathématiques qui étudie les phénomènes aléatoires. Un phénomène aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut pas être prédit avec certitude, même si l'on connaît toutes les conditions initiales. On parle aussi d'expérience aléatoire.

Le vocabulaire des probabilités permet de décrire précisément ces expériences et leurs issues.

Frequences observees d'une experience
💡 Bon réflexe : Toujours commencer par bien définir l'univers des possibles $\Omega$ avant de travailler sur les événements.

Méthode — Notion de probabilité : vocabulaire

1

Identifier l'expérience aléatoire

Définir clairement l'action ou l'observation dont le résultat est incertain. Par exemple, lancer un dé, tirer une carte, choisir une personne au hasard.

2

Déterminer l'univers des possibles (ou ensemble des issues)

L'univers des possibles, noté $\Omega$ (oméga) ou $E$, est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. Chaque résultat est appelé une issue ou un événement élémentaire.
Exemple : Pour le lancer d'un dé à six faces, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

3

Définir les événements

Un événement est un sous-ensemble de l'univers des possibles. C'est une collection d'une ou plusieurs issues. On le note souvent par une lettre majuscule (A, B, C...).
Exemple : Pour le lancer d'un dé, l'événement "obtenir un nombre pair" est $A = \{2, 4, 6\}$.

4

Distinguer les types d'événements

  • Un événement élémentaire est un événement qui ne contient qu'une seule issue. Ex : "obtenir 3" est l'événement $\{3\}$.
  • Un événement certain est un événement qui se réalise toujours. Il correspond à l'univers des possibles $\Omega$. Ex : "obtenir un nombre entre 1 et 6".
  • Un événement impossible est un événement qui ne se réalise jamais. Il correspond à l'ensemble vide $\emptyset$. Ex : "obtenir 7" en lançant un dé à six faces.
  • Deux événements sont incompatibles (ou disjoints) s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Leur intersection est vide. Ex : "obtenir un nombre pair" et "obtenir un nombre impair" sont incompatibles.
  • L'événement contraire de $A$, noté $\overline{A}$ (A barre) ou $A^c$, est l'événement qui se réalise si et seulement si $A$ ne se réalise pas. Il contient toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas dans $A$. Ex : Si $A$ est "obtenir un nombre pair", alors $\overline{A}$ est "obtenir un nombre impair".

Exemple résolu

Considérons l'expérience aléatoire suivante : Tirer une carte d'un jeu de 32 cartes (composé de 4 couleurs : Cœur, Carreau, Trèfle, Pique ; et 8 valeurs par couleur : 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As).

1
L'univers des possibles $\Omega$
L'univers des possibles est l'ensemble de toutes les 32 cartes du jeu.
2
L'événement "Tirer le 7 de Cœur"
C'est un événement élémentaire car il ne contient qu'une seule issue.
3
L'événement "Tirer une figure" (Valet, Dame, Roi)
C'est un événement composé de $4 × 3 = 12$ issues (4 Valets, 4 Dames, 4 Rois).
4
L'événement "Tirer une carte rouge"
C'est un événement composé de $2 × 8 = 16$ issues (Cœurs et Carreaux).
5
L'événement "Tirer une carte noire" et l'événement "Tirer une carte rouge" sont incompatibles.
Une carte ne peut pas être à la fois noire et rouge. Leur intersection est vide.
6
L'événement contraire de "Tirer une carte rouge" est "Tirer une carte noire".
Si la carte n'est pas rouge, elle est noire (dans un jeu standard). Ces deux événements couvrent toutes les issues possibles sans se chevaucher.
7
L'événement "Tirer une carte qui n'est ni un Cœur, ni un Carreau, ni un Trèfle, ni un Pique"
C'est un événement impossible car toutes les cartes appartiennent à l'une de ces quatre couleurs.
8
L'événement "Tirer une carte d'un jeu de 32 cartes"
C'est un événement certain car il correspond à l'univers des possibles.

Cet exemple illustre comment les différents termes du vocabulaire des probabilités s'appliquent à une expérience concrète. La bonne compréhension de ces définitions est essentielle pour résoudre les problèmes de probabilités.

⚠️ Confusion entre issue et événement

  1. Une issue est un résultat unique et indivisible de l'expérience aléatoire (un événement élémentaire).
  2. Un événement est un ensemble d'une ou plusieurs issues.
  3. Par exemple, lancer un dé : 'obtenir 3' est une issue. 'Obtenir un nombre impair' est un événement qui regroupe les issues {1, 3, 5}.

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Exercice type Brevet

Exercice : Vocabulaire des probabilités

On lance une pièce de monnaie équilibrée deux fois de suite.

  1. Décrire l'univers des possibles $\Omega$ de cette expérience aléatoire.
  2. Donner un exemple d'événement élémentaire.
  3. Soit $A$ l'événement "Obtenir au moins une fois Face". Décrire les issues composant l'événement $A$.
  4. Décrire l'événement contraire de $A$, noté $\overline{A}$.
  5. Soit $B$ l'événement "Obtenir deux fois Pile". Les événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? Justifier.
  6. Donner un exemple d'événement certain pour cette expérience.

Corrigé de l'exercice

  1. L'univers des possibles $\Omega$ est l'ensemble de tous les résultats possibles : $\Omega = \{\text{PP, PF, FP, FF}\}$ (où P représente Pile et F représente Face).
  2. Un exemple d'événement élémentaire est "Obtenir Pile au premier lancer et Face au second", soit l'issue $\{\text{PF}\}$.
  3. L'événement $A$ "Obtenir au moins une fois Face" est composé des issues : $A = \{\text{PF, FP, FF}\}$.
  4. L'événement contraire de $A$, $\overline{A}$, est l'événement "Ne pas obtenir Face du tout", c'est-à-dire "Obtenir deux fois Pile". Donc $\overline{A} = \{\text{PP}\}$.
  5. L'événement $B$ est "Obtenir deux fois Pile", donc $B = \{\text{PP}\}$. Les événements $A = \{\text{PF, FP, FF}\}$ et $B = \{\text{PP}\}$ sont incompatibles car ils n'ont aucune issue en commun. Leur intersection est vide ($A \cap B = \emptyset$).
  6. Un exemple d'événement certain est "Obtenir Pile ou Face à chaque lancer". Cela correspond à l'univers des possibles $\Omega$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une expérience aléatoire et une expérience déterministe ?
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut pas être prédit avec certitude (ex: lancer un dé). Une expérience déterministe est une expérience dont le résultat est toujours le même si les conditions initiales sont identiques (ex: faire bouillir de l'eau à 100°C à pression atmosphérique normale).
Qu'est-ce qu'un événement élémentaire ?
Un événement élémentaire est un événement qui ne contient qu'une seule issue possible de l'expérience aléatoire. C'est le plus petit type d'événement.
Quand dit-on que deux événements sont incompatibles ?
Deux événements sont incompatibles (ou disjoints) s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Cela signifie qu'ils n'ont aucune issue en commun. Leur intersection est l'ensemble vide $\emptyset$.
Comment trouver l'événement contraire d'un événement $A$ ?
L'événement contraire de $A$, noté $\overline{A}$, est l'ensemble de toutes les issues de l'univers des possibles $\Omega$ qui ne sont pas dans $A$. Si $A$ se réalise, $\overline{A}$ ne se réalise pas, et vice-versa.

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